Inércia e mudança

A física estuda os fenômenos que obedecem ao princípio geral de causa e efeito e recorre à matemática para montar as suas teorias. Suponhamos um corpo rígido em movimento, um trem por exemplo. Admitamos o experimento mental de supôr que o atrito do trem na via e a resistência do ar são sempre constantes e que portanto o trem viaja a uma velocidade uniforme. Em matemática podemos denominar esse movimento de movimento vetorial, ou seja, de uma força com direção representada por uma seta cujo comprimento corresponde à grandeza da velocidade e cuja direção é definida pela linha reta da seta. A relação causa e efeito deu origem a uma polêmica que ficou célebre na história da humanidade pela importância dos personagens envolvidos e das ideias que represemtavam. Aconteceu que Galileu, (1564–1642), astrônomo, físico e escritor italiano, inventou e construiu o  telescópio o que lhe permitiu fazer as primeiras descobertas científicas do cosmos. Como consequência das suas observações Galileu aderiu  ao sistema héliocentrico ou seja, não eram todos os astros celestes que giravam à volta da Terra, mas era a Terra que rodava à volta de si mesmo.  Com essa teoria entrou em conflito com a Igreja Católica Romana que a classificou de heresia por negar as citações da Bíblia. Submetido ao julgamento da Inquisição teve que abjurar das suas ideias para não ser codenado à morte em auto da fé. Conta a lenda que Galileu após se retratar disse em voz baixa “Eppur si muove” (No entanto se move). Apesar da proteção do Papa e do seu prestígio como cientista passou os últimos anos da sua vida em prisão domiciliar proibido de divulgar as suas ideias. Galileu foi um homem de ideias avançadas para a sua época e pode-se dizer que com ele teve início a física moderna. Vejamos o grande salto para a frente devido às suas descobertas. Os gregos da Antiguidade desconheciam o movimento dos corpos rígidos pois não tinham nenhuma ideia que o tempo podia ser medido. Por isso limitaram-se em desenvolver as figuras geométricas. Mas Galileu ao definir as leis do pêndulo concluiu que ele podia ser o “relógio” necessário à medição do tempo do movimento dos corpos rígidos, ou seja da mudança sequêncial das suas posições no espaço. Com isso da estática dos gregos passou à dinânica abrindo um vasto campo do conhecimento dos fenômenos físicos. As principais conclusões que fundamentaram as suas teorias foram: 1) O movimento uniforme de um corpo em nada se distingue do seu estado de repouso; 2) Uma força constante aplicada a um corpo rígido não determina a sua velocidade mas a sua “aceleração”. Para entender o significado das palavras velocidade e aceleração temos primeiro que saber o que é “taxa de variação”. Em matemática taxa é a relação entre as variações de duas grandezas das quais a primeira depende da segunsda para a sua completa definição.  Suponhamos que um carro passa por um ponto fixo do seu percurso a uma velocidade de 70km/h. Qual será a extensão percorrida no fim de 5 horas por exemplo?  Para se obter a resposta é preciso saber quais os tempos de duração da sequência das velocidades para se conhecerem as distâncias percorridas em cada uma delas. Assim sendo as distâncias percorridas são de uma variável dependente função da variável independente do tempo. Agora quanto à aceleração que é também uma grandeza vetorial, suponhamos que ela varia com a velocidade, então a aceleração é na realidade a taxa da variação da taxa de variação da posição em relação ao tempo. Voltemos ao principio de causa e efeito. A inércia é a resistência que todos os corpos materiais opõem à modificação do seu estado de movimento. Por isso se um pssageiro de um carro estiver viajando a alta velocidade e o motorista freiar bruscamente ele será projetado violentamente para a frente correndo o risco de se ferir seriamente. Para evitar essa consequência é obrigatório o uso do cinto de segurança.

Por hoje é tudo. Até à próxima.       

 

Igualdades e Desigualdades

Vocês devem-se lembrar de eu ter dito em trabalho anterior que a álgebra é a generalização da aritmética onde os valores concretos dos números são substituídos pelos valores abstratos das letras minúsculas do nosso alfabeto. Pois bem vejamos as relações mais simples que se podem estabelecer entre esses valores abstratos como sejam as igualdades. Temos então “a=b”, isto é, duas letras ligadas pelo sinal igual representado por dois pequenos traços horizontais um em cima do outro. Mas atenção, não existem dois números que sejam ao mesmo tempo iguais e diferentes. Logo a relação “a=b” só pode ser satisfeita se for “a=a”, isto é, se o número “a” for igual a si mesmo o que obviamente não interessa a ninguém. Mas vejamos o que acontece se em vez dos números naturais passarmos a lidar com os números reais. Lembrem-se que os números reais englobam os números naturais, os números inteiros racionais e irracionais. Vejamos um exemplo, a raiz quadrada de 9, ou seja o número 3. É um número natural mas sendo o resultado de uma raiz quadrada está sujeito aos dois sinais + e -. Sendo assim ao único número natural 3 ou seja ao valor absoluto de 3 que é o número 3 sem os sinais, correspondem dois outros números iguais e diferentes +3 e –3 o que não é nenhuma contradição pois resulta das propriedades dos números reais. Temos então as seguintes identidades +3=+3 e –3=-3. Com as desigualdades não é isso que se observa. Se “a>b”, isto é se “a” for maior que “b” então o inverso é “b”menor que “a”. No entanto são as igualdades que promovem a expansão da matemática, pois as desigualdades têm um campo de aplicação muito limitado. Uma aplicação da desigualdade é o “corte de Dedekind” matemático alemão (1831-1916) que determina que um número irracional infinito como, por exemplo, a raiz quadrada de 2 pode ser representado num eixo numérico pois ele é o número que separa o conjunto dos números menores que ele do conjunto dos números maiores que ele. Voltemos às igualdades, os simples conceitos das igualdades abrem o caminho para o cálculo integral e diferencial. Vejamos o  exemplo – 3+x=0, passando o “-3” para o 2º membro  da igualdade o 3 muda de sinal dando ‘x=+3’, isto é obteve-se o valor da incógnita que soluciona a equação. O número 3 abstraído dos sinais é chamado de “valor absoluto do número” e é representado pelo símbolo de dois traços verticais limitando o número “/3/”.  Vejamos agora um caso interessante de igualdade, “a regra de três”. Suponhamos que um objeto que custa R$300,00 estivesse sendo vendido com um desconto de 20%. Qual teria sido o valor pago pelo comprador? Trata-se de uma igualdade entre duas proporções, ou seja, 100 está para 20 assim como 300 está para x. Como vocês devem saber o produto dos valores extremos é igual ao produto dos valores meio, isto é, o produto do numerador da 1ª fração pelo denominador da 2ª fração (valores extremos) é igual ao produto do denominador da 1ª fração pelo numerador da 2ª fração (valores meio). Temos então 100x=20.300, portanto o desconto na compra foi de R$60,00 e o objeto foi vendido por R$240,00.

Fico por aqui. Até à próxima.
 

O espaço

Todos os domingos no caderno Cotidiano do diário Folha de S. Paulo Marcelo Gleiser, professor de física teórica no Dartmouth College, em Hannover (EUA), e autor de “Criação Imperfeita”, brinda-nos com pequenas crônicas cheias de sabedoria. No domingo 29 de abril de 2012 com o título “Um caminho tortuoso”, Gleiser começa a sua exposição dizendo: “Do jeito que a ciência é ensinada nas escolas, não é à toa que a maioria das pessoas acha que o conhecimento científico cresce linearmente, sempre se acumulando. No entanto, uma rápida olhada na história da ciência permite ver que não é bem assim: o caminho que leva ao conhecimento é tortuoso e, às vezes, vai até para trás, quando uma ideia errada persiste mais tempo do que deveria.” Gleiser expõe então a ideia do movimento da Terra através do éter, o meio material cuja função era de servir de suporte para a propagação das ondas de luz. A perplexidade dos cientistas diante dos resultados dos experimentos que negavam a existência do éter só se encerrou em 1905 com a teoria da relatividade especial de Einstein. Mas não é o espaço físico que desejo expor neste trabalho mas do espaço matemático. Para Euclides e os pitagóricos, cerca de 230 a 275 anos antes de Cristo, o espaço matemático não existia porque as figuras geométricas estavam contidas em si mesmo e o que interessava eram as suas transformações internas. Descartes (1596–1650) foi o primeiro a criar o espaço matemático marcando aleatoriamente no plano euclidiano um ponto fixo resultante do cruzamento de duas linhas retas numéricas onde o ponto fixo representa o zero desses números. Deste modo todos os pontos do plano passaram a ter uma representação numérica de dois valores (a,b) onde convencionalmente “a” se situa no eixo horizontal chamado de “eixo dos xx´s” e “b” no eixo vertical chamado de “eixo dos yy´s”. Os pontos do plano assim representados crescem indefinidamente a partir do zero da esquerda para a direita no eixo horizontal e de baixo para cima no eixo vertical. Mas o espaço matemático pode ser ainda amplificado se aos números inteiros positivos acrescentarmos os números inteiros negativos. Assim as duas linhas retas são prolongadas a partir do zero, a horizontal para a esquerda e a vertical para baixo. Com isso o espaço fica dividido em “quadrantes” convencionalmente numerados de um até quatro no sentido de rotação anti-horário a partir do quadrante superior direito. Se dermos a essa rotação a forma de um círculo, a sua área e o comprimento da sua circunferência ganham valores específicos de múltiplos de uma grandeza conhecida pela letra grega “pi”. Trata-se de um número infinito cujo valor finito aproximado é 3,1416, suficiente para as nossas necessidades habituais. Vejamos como ele se distribui pelos quadrantes. Considerando que o comprimento da circunferência é dado pela fórmula pi=2R sendo R o raio do círculo, ou seja, pi é igual ao diâmetro do círculo, temos a seguinte distribuição pelos quadrantes na rotação anti-horária: no eixo horizontal pi é zero, no eixo vertical é pi/2, no eixo horizontal é pi, no eixo vertical é 3/4 pi e eixo horizontal é 2pi. Assim sendo o espaço matemático ganhou a sua maior amplitude de expressão.

Fico por aqui. Até à próxima.               
 

Recapitulando

Abordar a matemática pode ser de diversas maneiras dependendo do objetivo de quem expõe. Tudo começa com a aritmética, com os números naturais que servem para contar as quantidades de coisas, objetivo primordial da humanidade. Mas neste trabalho em vez de mergulharmos na complexidade das categorias numéricas, vamos considerar como conhecida toda a aritmética e aproveitá-la apenas para o nosso objetivo, expor a estrutura geral dos seus conceitos básicos. Como já vos disse após a aritmética a grande área do conhecimento matemático é a álgebra que não é mais do que a generalização da aritmética. Para isso a principal mudança é transformar os números em letras minúsculas do nosso alfabeto. Convencionalmente as letras “a”, “b”, “c”, “d”… representam constantes enquanto que “x”, “y” e “z” designam as incógnitas. Normalmente “x” representa a variável independente e “y” a variável dependente. Assim esses valores formam a “equação”, ou seja, uma igualdade de dois membros ligados pelo sinal “=”. Solucionar a equação é encontrar os valores das incógnitas que transformam a igualdade em uma identidade. As equações são representadas normalmente por uma seqüência finita decrescente de potências de “x”, sendo classificadas pelo seu valor mais alto em equação do primeiro grau, do segundo grau, do terceiro grau, do quarto grau e assim por diante. Uma equação do primeiro grau tem apenas uma solução,  a do segundo grau duas soluções, do terceiro grau três soluções , do quarto grau quatro soluções etc., etc.. Esta é uma regra geral que não admite exceções e os matemáticos só conseguiram atendê-la quando descobriram todas as categorias numéricas. Vejamos por exemplo a equação do segundo grau y=ax2+bx+a. Observem que o primeiro termo é o quadrado de “x”, o segundo é o de “x” levantado a 1 e o último o de “x” levantado a 0 que tem o valor de 1 qualquer que seja o valor de “x”.  Uma seqüência completa portanto. As suas duas soluções são obtidas pela raiz quadrada do valor “b2-4ac”. Vocês já devem saber que o sinal de raiz quadrada vem sempre precedido pelos dois sinais mais e menos. Isso é devido à regra dos sinais em que mais vezes mais dá mais mas menos vezes menos dá também mais. Vamos em frente. Consideremos o conceito fundamental do cálculo que é a função denotada por “y=f(x)”. Temos então no plano cartesiano as funções lineares do primeiro grau que representam linhas retas e as funções circulares próprias do círculo. Com estes últimos abrimos o campo da trigonometria seno, cosseno, tangente, etc., etc., valores correspondentes ao ângulo ao centro quando um ponto da circunferência se desloca no sentido anti-horário. Além disso, o perímetro do circulo ou seja o comprimento da circunferência dividido pelo comprimento do diâmetro dá o número (pi) que é um número infinito mas que para as nossas necessidades habituais pode ser reduzido ao valor finito (pi) = 3,1416. Um número infinito já era conhecido por Euclides de Alexandria, (c.330 a C.- 275 a. C.) que provou de forma irrefutável que a raiz quadrada de 2 era um número que não era nem par nem ímpar logo seria um número infinito, criando uma “crise” entre os pitagóricos que tinham como lema que “tudo são números”, números inteiros naturais é claro. Poderíamos ainda abordar o logaritmo que se define como sendo o expoente a que devemos elevar a base para reproduzir o número. Assim por exemplo o logaritmo de 10 na base 10 é 1 pois 101=10. Para 102=100 e assim por diante.
 
Dou por encerrado o meu trabalho que já está bastante extenso. Até a próxima.    
 

Delícias da Matemática

Provavelmente vocês devem estranhar o título deste meu trabalho “Delícias da matemática”. Será que existem mesmo essas tais delícias? Explico. A “Folha de S. Paulo” no dia 5 de fevereiro de 2012 publicou, no caderno “Ilustrissima”, uma matéria com esse título que por sua vez foi transcrita e traduzida do jornal britânico “The Guardian”. Diz este jornal: “Os britânicos tradicionalmente veem a matemática como uma disciplina chata diferentemente do que acontece em países como França, Alemanha e EUA onde nerds são reverenciados e não ridicularizados”. Assim na crônica do “The Guardian” a matemática não especializada é apresentada em questões de um nível adequado para que se torne acessível ao cidadão comum que se possa interessar pelo assunto. Segundo o governo britânico essa atuação tornaria a matemática uma disciplina atraente livrando-a do atual estigma. Além disso, a intenção do governo é incluir a matemática em todos os cursos universitários quaisquer que sejam, pois segundo ele, a matemática deve fazer parte da cultura geral do cidadão. Vejamos então as questões que fazem parte da crônica do jornal. 1ª Questão: “Pi é a razão entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro. Em outras palavras, a razão entre o comprimento da circunferência do círculo e o comprimento de uma linha que atravesse pelo centro. A delícia do número mais famoso da matemática vem da anarquia de seus algarismos. O número começa com 3,14159 e continua infinitamente, sem obedecer a nenhuma ordem. O fato de uma razão tão simples – a razão mais simples da forma mais simples – ser também a mais irregular e refratária é um mistério que ainda causa assombro”. Vejamos os meus comentários às afirmações da crônica do “The Guardian”. Como vocês devem estar lembrados a definição do círculo é o lugar geométrico de todos os pontos do plano euclidiano equidistantes de um ponto fixo chamado centro. O círculo é realmente uma figura geométrica simples, mas as suas propriedades são complexas. Este fato já tinha sido descoberto pelos pitagóricos no século IV a.C. quando o gênio da matemática Euclides provou de forma irrefutável que a relação do comprimento da diagonal de um quadrado em termos do comprimento do seu lado é igual à raiz quadrada de 2 que é um número infinito. Quer dizer um número que não pode ser representado pela relação de dois números inteiros “m” sobre ”n” em que  “n” não é zero.  Pois bem, não existe prova mais evidente de uma forma simples ter propriedades complexas como a forma geométrica do quadrado onde o comprimento da diagonal medida pelo comprimento do lado dá como resultado um número infinito. É claro que Euclides disse que o número era infinito, mas não o expressou em algarismos por não conhecer nenhum sistema numérico que o representasse. O que ele provou foi que o número não era par nem ímpar, logo só podia ser infinito. Hoje no nosso sistema decimal a raiz quadrada de 2 é representada pelos algarismos 1,41421356237309504… ; 2ª Questão: “Mas a matemática não começou com círculos, mas sim com triângulos. A primeira prova dedutiva na literatura matemática foi o cálculo da altura da Grande Pirâmide feita pelo grego Tales. Ele usou o “cálculo das sombras”, com o qual se determina a altura de um objeto alto medindo o comprimento de sua sombra. Tanto altura quanto sombra são considerados, nesse cálculo, lados de um triângulo. Assim, os triângulos nos possibilitaram medir a distância até pontos, como o topo de uma pirâmide, sem precisar fisicamente chegar a eles. Mais tarde os triângulos seriam usados para descobrir a altura do Everest e a distância até planetas e estrelas”. O filósofo grego Tales de Mileto, (c.625 – c.547a.C.) utilizou triângulos para calcular a altura da Grande Pirâmide Queops no Egito. Partindo do ponto central de um dos lados da base quadrada da pirâmide, traçou uma linha reta no chão plano e cravou verticalmente a uma certa distância uma haste com altura conhecida. O Sol no seu movimento virtual produzia duas sombras, a da haste e a da pirâmide, que se apresentavam mais longas quando o Sol atingia o zênite, Nesse momento Tales marcou no chão as duas pontas, a da haste e a do topo da pirâmide. Obteve assim dois triângulos semelhantes, o comprimento da sombra da haste para a sua altura e o comprimento da sombra da pirâmide para a sua altura. Igualando as duas proporções obteve a altura da pirâmide sem a necessidade de atingi-la fisicamente.  O método serviu também para calcular a altura do pico do Everest e a distância de planetas e estrelas através de medidas terrestres associadas a medidas feitas com telescópios e uso de trigonometria simples.
A crônica continua com outros temas que não abordarei aqui, pois tornaria o meu trabalho demasiado extenso.

Fico por aqui. Até à próxima.                      
 

A máquina de Turing

Alan Mathison Turing, (1919-1954), matemático inglês, foi considerado o idealizador de um computador por ter definido os conceitos básicos de uma máquina destinada a operar em grande velocidade conjuntos numéricos finitos muito extensos. Esses conjuntos deviam ser elaborados em programas de acordo com a estrutura da máquina de modo a poderem entrar em um “estado passivo” onde todas as suas funções estariam prontas para serem acionadas em “estados ativos”. Portanto com Turing teve início a construção dos computadores eletrônicos, as máquinas do nosso tempo, que se tornam cada vez mais sofisticadas numa evolução irreversível. A propósito cito a opinião do físico e matemático Roger Penrose vemcedor com Sephen Hawking do Prémio Wolf, no seu livro “Emperor’s New Mind”, (traduzido para o português em 1993 pela editora Campus, Rio de Janeiro, sob o título “A Mente Nova do Rei”): ‘Há alguma coisa quase aterrorizadora nesse ritmo de desenvolvimento. Os computadores já são capazes de realizar numerosas tarefas que, antes, eram província exclusiva do pensamento humano, com velocidade e precisão que ultrapassam, muito, qualquer coisa que um ser humano possa realizar”. Partilho da mesma opinião e reconheço que os computadores, atualmente, comandam as nossas vidas e de certo modo tornamo-nos escravos dessas máquinas criadas por nós. Apenas como exemplo vejamos a última novidade dos computadores, o “touch screen” que integra sensores na tela e softwares para interpretar os comandos do usuário. O computador touch screen não tem teclado e os comandos são realizados tocando na tela com o dedo, os pontos do programa desejado ao objetivo do registro. Mas voltemos à máquina de Turing. Na Segunda Grande Guerra de 1939 a 1945, Turing trabalhava no serviço secreto britânico, encarregado da escuta das ordens do alto comando alemão aos comandantes dos submarinos para os ataques, no Atlântico, aos comboios de navios mercantes destinados ao abastecimento da Inglaterra. Essas informações obtidas pela aviação alemã das posições dos navios mercantes era fornecida pelo radio em código válido apenas por 24 horas através de um sistema sofisticado chamado “enigma”. Esse equipamento era semelhante a uma máquina de escrever com um teclado comandando quatro bobinas intercambiáveis. Todos os dias o comando alemão dava a posição das bobinas e emitia uma sequência finita de 0’s e 1’s que representavam, em números binários, as ordens do comando alemão. De fato se admitirmos que digitando um 0 o dígito avança ama “casa” e digitando 1 o dígito recua uma “casa” fazemos com que cada quantidade de 0’s e 1’s represente uma posição final do código binário, ou seja, uma letra diferente do alfabeto alemão. Os alemães tinham tanta confiança na inviolabilidade do seu código que não se importavam com a escuta que os ingleses realizavam. Mas estavam enganados pois o sistema tinha uma falha. Todas as vezes que iniciavam as ordens repetiam sempre a mesma saudação nazista dando chance a Turing de ir decifrando gradualmente, por tentativa e erro, o código alemão. Finalmente o código foi inteiramente decifrado representando uma grande vitória para os aliados pois os comboios dos navios mercantes passaram a navegar com segurança. Mas a história de Turing não acaba aqui. Ele era homossexual e teve um encontro com um homem que lhe roubou umas bugigangas que ele gostava muito. Queixou-se à polícia e o serviço secreto britânico ficou sabendo do caso. Temendo que os segredos militares fossem revelados demitiu-o do serviço secreto. Humilhado e ressentido Turing suicidou-se. Assim terminou de uma forma trágica um matemático de gênio a quem devemos os conceitos fundamentais dos computadores eletrônicos que tanto participam de nossas vidas.

Fico por aqui. Até à próxima.            
     

n+1

Historicamente a matemática sempre progrediu em “saltos”, que ocorrem quando um matemático consegue reunir as premissas que possibilitam dar uma súbita expansão no conhecimento matemático. Vejamos um exemplo. Giuseppe Peano, (1858-1932), matemático e lógico italiano, publicou em 1899 um trabalho onde definiu de uma maneira axiomática, isto é, sem demonstrar, a natureza dos números naturais aos quais incluiu o zero que não é um número natural. As premissas ou postulados foram os seguintes: 1) O zero é um número; 2) Todo o número natural e o zero têm um sucessor imediato n+1; 3) O zero não é o sucessor de nenhum número natural; 4) Nenhum par de números naturais tem o mesmo sucessor imediato; 5) Uma propriedade que pertença ao zero e também ao sucessor imediato de qualquer número natural pertence a todos os números naturais. Esta condição é chamada de axioma da indução. Mas no final do século 19, matemáticos e filósofos como Frege, Dedekind, Russell e Hilbert ampliaram os fundamentos do conhecimento matemático. No entanto foi sem dúvida Georg Cantor, (1845-1918), matemático alemão,  quem mais contribuiu para que a abrangência dos fundamentos fosse total, com a sua teoria dos conjuntos e as teorias dos infinitos matemáticos e dos números transfinitos. Vejamos como. Um conjunto é uma coleção ordenada, isto é, apresentando uma certa ordem, de “coisas” da mesma natureza. As “coisas” são chamadas de elementos do conjunto. Se aos elementos de dois conjuntos for possível fazê-los corresponder um-a-um e se essa correspondência for biunívoca, isto é, se ao elemento A de um conjunto corresponder o elemento B do outro conjunto e vice-versa, então podemos dizer que os dois conjuntos têm as mesmas propriedades sendo portanto equivalentes. Os números naturais são um exemplo de um conjunto como definiu Cantor. Além disso os números naturais formam um conjunto fechado, isto é, um conjunto que por mais que se prolonguem os seus elementos não é possível sair-se dele. Temos portanto um infinito matemático, parâmetro inatingível pois a distância de qualquer número do conjunto a esse infinito é sempre a mesma, ou seja, infinita. Mas como vimos pela condição 2) de Peano qualquer que seja o número natural escolhido ele tem um sucessor imediato n+1. Esta lei se repete indefinidamente de forma inalterada pelo que Peano a classifica como sendo o axioma da indução. Se o axioma for verdadeiro então a lei será sempre verdadeira. É a demonstração por indução. Existe um outro método de se obter uma demonstração que é por dedução que é o inverso da anterior. Pela indução o axioma é a premissa maior e o conjunto se expande ao passo que pela dedução o axioma é a premissa menor e o conjunto se concentra até atingir a forma de teorema. Cantor definiu o número transfinito como sendo o número cardinal que representa um conjunto infinito. Dois conjuntos infinitos que tenham o mesmo número cardinal têm uma correspondência um-a-um entre os seus elementos. Por exemplo o conjunto dos números naturais mais o zero e o conjunto dos números naturais pares incluindo também o zero: 0 para 0; 1 para 2; 2 para 4; 3 para 6; 4 para 8; etc., etc., … indefinidamente. Com esta correspondência chegamos à conclusão que uma parte do todo pode ser igual ao todo o que seria contra o bom senso. Mas não devemos esquecer que estamos lidando com infinitos. Mas Cantor fez ainda uma outra descoberta. Considerando então que todo e qualquer conjunto numérico infinito quando interrompe o seu avanço, é representado por um número cardinal, podemos admitir que esses números cardinais formam também um conjunto ordenado de números cardinais cujos elementos  Cantor chamou de “aleph”, a primeira letra do alfabeto hebreu. Temos portanto a seguinte sequência: aleph zero; aleph 1; aleph 2; aleph 3 etc., etc., indefindamente. E assim  Cantor quantificou os infinitos com o seu conjunto de aleph’s, levando-nos ao limite máximo absoluto do infinito dos infinitos.

Fico por aqui. Até à próxima.    
 

A Física e a Matemática

Para o leigo a Física e a Matemática são campos do conhecimento totalmente independentes um do outro, a Física procurando interpretar os fenômenos naturais do mundo em que vivemos e a Matemática lidando com números e suas expressões numa criação que é apenas da nossa inteligência. Puro engano. Os matemáticos fornecem aos físicos um poderoso instrumento que lhes permite não só pesquisar o planeta Terra como também o próprio Universo. Vejamos como. Mas antes disso se bem que não diga respeito à matemática, convém definir um princípio que muito facilita o entendimento da física: o princípio de causa e efeito. Se a um fenômeno natural perfeitamente definido segue-se  sempre um outro sem nenhuma exceção, também perfeitamente definido, diz-se que os dois fenômenos estão relacionados sendo que o primeiro é a causa do efeito do segundo. Um exemplo elementar é o raio e o correspondente trovão. À descarga elétrica atmosférica segue-se sempre um trovão. É claro que esta relação não pode ser nunca invertida ou seja o efeito não pode ocorrer antes da causa pois isso seria destruir o principio da causalidade que rege todos os fenômenos físicos naturais. Mas vamos ao que interessa. Para se fazer uma abordagem correta da física torna-se necessário quantificar as grandezas físicas, criando as suas unidades e calculando os seus valores. Para isso utilizamos os números. Os sistemas dinâmicos são próprios para isso. O planeta Terra por exemplo. Ele tem dois movimentos, o de rotação em torno de um eixo e o de translação em volta do Sol. O primeiro dá-nos a unidade de tempo, o dia e o segundo a outra unidade do tempo, o ano. Estas duas unidades do tempo estão evidentemente relacionadas entre si. Um ano corresponde a 365 dias, mas não exatamente. O valor de 24 horas para o dia é insuficente e portanto é necessário introduzir o ano bissexto com um dia a mais no mês de fevereiro. A nossa divisão do tempo está portanto vínculada aos movimentos do planeta Terra. Se a sua rotação e a sua órbita fossem diferentes a nossa noção de tempo seria outra. Fica portanto evidente que a grandeza física, o tempo, não é independente pois depende do espaço. Por isso o físico Albert Einstein juntou as duas unidades em uma só, criando o espaço-tempo em sua substituição. Vejamos então como podemos tratar o espaço sideral. Newton descobriu que os corpos celestes se atraiam uns aos outros com uma força à distância algo misteriosa que chamou de força da gravidade. Essa força entre dois corpos era, segundo ele,  diretamente proporcional às suas massas e densidades e inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa. Mas Einstein apresentou uma outra teoria que chamou de teoria da relatividade. A unidade a ser considerada seria a velocidade da luz no vácuo ou no vazio de 300.000 quilômetros por segundo. Uma velocidade fantástica que mesmo assim não conseguiria abranger o universo que seria somente medido em anos-luz, ou seja, um ano-luz seria a dimensão percorrida pela luz em um ano convertido em segundos e multiplicada por 300.000 quilômetros. Uma prova que a dimensão que usamos na Terra, o quilômetro, é manifestamente muito pequena para medir o universo. A teoria da relatividade introduziu também uma alteração importante no conceito de espaço ao considerar a luz como uma onda monocromática de um conjunto de fótons, corpusculos de energia que possuindo massa estão sujeitos à ação da gravidade  Sendo assim a trajetória da luz não é retilinea mas aprsenta uma deflexão ao tangenciar um corpo celeste como o planeta Terra. Tudo se passa como se o espaço fosse curvo à volta do corpo celeste e tanto mais curvo quanto mais próximos da sua superfície estiverem os fótons. A teoria corpuscular da luz deriva da teoria de Max Planck elaborada em 1900, de que os fenômenos físicos somente acontecem quando atingem o “quantum” específico de energia. Este princípio de Planck desempenha um papel fundamental na física moderna. Por último vejamos uma pesquisa científica desenvolvida pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, (1546-1601), que durante a maior parte da sua vida anotou diariamente a posição dos cinco planetas visíveis a olho nú Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno. Depois da sua morte essa espantosa coleção de dados ficou à disposição do matemático alemão Johannes Kepler. (1571-1630). Este então também dedicou a sua vida à análise dos dados de Brahe conseguindo finalmente formular três leis que ficaram conhecidas como as leis de Kepler para  as órbitas dos planetas do sistema solar. Basicamente essas leis resultam da Primeira lei: “Os planetas movem-se em órbitas elíptica em que o Sol ocupa um dos focos”. Temos de admirar a capacidade intelectual desses cientístas, o primeiro, Brahe, em discernir na imensidão do céu estrelado a posição relativa dos planetas. Para tanto utilizou como ponto de referência as estrêlas longínquas que estando tão longe permanecem fixas, imóveis, em relação aos planetas do sistema solar. O segundo, Kepler, por conseguir formalizá-los em leis que até hoje permanecem válidas na astronomia..

Fico por aqui. Até à próxima.       
 

Números complexos

Nos trabalhos anteriores apresentei o sistema numérico desdobrado nas suas diversas categorias, mostrando as insuficiências de cada categoria e como superá-las mediante expansões sucessivas. Iniciando pelos números naturais e anexando o número zero passei aos números inteiros positivos e negativos, aos racionais, algébricos, fracionários, irracionais, transcendentes e finalizando nos números reais. Parecia portanto que a expansão numérica estava completa devido à propriedade dos números reais de apreesentar entre dois números sucessivos sempre um terceiro, por mais póximos que estejam entre si os números escolhidos. É a chamada “hipótese do continuum” da sequência ininterrupta dos números reais sem “saltos” ou descontinuidades de qualquer natureza. Mas vocês devem  lembrar da pequena ressalva que coloquei “pondo de lado os números complexos”. Qual o motivo dessa minha preocupação? De fato os números complexos são números um tanto “estranhos” digamos assim. Eles não deviam existir pois resultam de uma operação impossivel de se realizar, a raiz quadrada de um número inteiro negativo. Por exemplo, a raiz quadrada de 4 é 2 mas a raiz quadrada de –4, 4 com o sinal menos, não pode ser realizada. Nenhum número elevado ao quadrado pode ser negativo. Assim é a regra dos sinais: +2 X +2=+4 mas –2 X –2 é também igual a +4. Mas a raiz quadrada de um número inteiro negativo pode acontecer, como por exemplo na equação x2+1=0 e é por isso que temos que saber como resolver o impasse. Vocês devem ter reparado que todas as vezes que se apresenta a raiz quadrada de uma expressão matemática o símbolo da raiz quadrada vem precedido dos sinais + e – . Isso quer dizer prcisamente que os dois resultados, positivo e negativo, têm de ser considerados. Vejamos a regra dos sinais que diz: mais vezes mais dá mais; menos vezes mais dá menos; menos vezes menos dá mais; e mais vezes menos dá menos. Os compêndios de matemática  geralmente não explicam por que a regra dos sinais é assim. Vejamos a razão. Consideremos o plano cartesiano dividido em quatro quadrantes mediante dois eixos numéricos ortogonais, o eixo horizontal dos xx ou eixo das abcissas e o eixo vertical dos yy ou das ordenadas, cruzando-se no ponto zero inicio da contagem dos nímeros naturais inteiros nos dois eixos. Convencionalmente os quadrantes são ordenados 1º, 2º, 3º e 4º no sentido de rotação positivo, ou seja anti-horário. Para obtermos a regra dos sinais temos de considerar o sentido de rotação dentro de cada quadrante levando em conta que o par de coordenadas de um ponto do plano é sempre (x,y), primeiro a abcissa e depois a ordenada. Poi bem, no 1º quadrante o sentido da rotação é anti-horário ou seja positivo; no 2º quadrante é horário logo negativo; no 3º quadrante volta a ser anti-horário portanto positivo; e no 4º quadrante horário, negativo.
Há cêrca de 100 anos a. C. Heron de Alexandria abordou os números complexos obtendo a solução da raiz quadrada de menos 63. Por sua vez em 1545 Girolamo Cardan apresentou o resultado do produto de 5 mais a raiz quadrada de menos 15 vezes 5 menos a raiz quadrada de menos 15. Realizando os produtos o resultado é dado por 52 + 15 = 25+15 = 40. Volto a manifestar a minha admiração pela profunda capacidade intelectual desses pioneiros que apesar da precaridade do conhecimento conseguiram investigar fundamentos que hoje fazem parte da matemática moderna. Mas para que fosse alcançada a completa interpretação dos números complexos foi necessário esperar por Gauss, (Johann) Carl Friedrich, (1777-1855), matemático alemão considerado um dos grandes  da história da matemática. Gauss colocou os números complexos no plano cartesiano dando-lhes a forma aigébrica a+bi onde “a” e “b” são números reais e “i” a unidade imaginária igual a i 2 = – 1. Os dois eixos ortogonais cruzando-se no ponto 0 são: o eixo horizontal dos números reais “a” chamado de eixo real e o eixo vertical dos números imaginários “bi” chamado de eixo imaginário. As grandezas “a” e “b” são iguais em valor absoluto, tanto no eixo real apresentando a sequência 1, 2, 3, … englobando todos os números reais quanto no eixo imaginário  a sequência 1i, 2i, 3i, …englobando todos os números imaginários. Gauss conseguiu assim obter desta maneira admirável, uma representação geométrica englobando todas as categorias númericas sem exceção encerrando as suas expansões.

Fico por aqui. Até à próxima.
 

Cibernética

Desta vez vou tratar de um assunto que não é propriamente do âmbito da matemática mas onde ela tem um papel fundamental, a cibernética. Termo criado por Norbert Wiener, (1894-1964), matemático norte-americano, em publicação de 1948, a cibernética é a ciência que estuda as atividades rotineiras do homem que a partir do século 20 se modificaram completamente com a 2ª revolução industrial. Mas não é a invenção das máquinas em si da 1ª revolução industrial ocorrida no século 19 que nos interessa, como por exemplo a máquina a vapor substituindo as carruagens puxadas por cavalos e os barcos à vela singrando os mares. Nos interessa é a invenção das máquinas que comandam e controlam outras máquinas, tarefas que anteriormente só cabiam ao homem pois só ele era capaz de as executar, em parte e com muito menor capacidade. No final do século 20 teve início a era das máquinas que hoje dominam completamente as nossas atividades. Se os pitagóricos de 300 anos a. C. vivessem hoje, diriam que a sua previsão “tudo são números” havia finalmente se realizado. Realmente tudo que fazemos hoje é transformado em números pelas máquinas que dialogam entre si para cumprir as suas tarefas. Não se trata das informações solicitadas por telefone, cujas instruções para  atendimento são fornecidas por um disco dando uma sequência de alternativas a serem tecladas pelo solicitante. Aqui o diálogo não existe e não adianta pedir algo que esteja fora das opções que o disco oferece. Agora o que estou querendo é falar das máquinas como os computadores, os laptops, os notebooks, os celulares etc., etc., além de sistemas como a internet. Comprar, vender, pagar contas, obter informações, cobrar obrigações, dialogar com outras pessoas em qualquer parte do mundo,  enfim todas as nossas atividades estão devidamente ao nosso alcance através das máquinas “pensantes”. Não estou fazendo a apologia da “Inteligência Artificial (IA)”. As máquinas cibernéticas não são inteligentes em si mesmo,  são apenas programadas pelo homem para realizar as tarefas para as quais foram montadas. No entanto temos que admitir que a partir da década de 1950 cientistas das universidades norte-americanas desenvolveram pesquisas baseadas na computação onde se exploram processos complexos inerentes à inteligência humana.  Sócrates, (469-399 a. C.) já se perguntava nos “Diálogos” sobre os “caminhos” misteriosos da mente: “Se procuras algo que não sabes bem o que é, como podes escolher o caminho a seguir? E se encontrares algo novo como sabes que é isso mesmo que procuravas?”. Pensar só é próprio do homem. Sou adepto da famosa frase de Descartes: “Cogito ergo sum”, (“Penso, logo existo”). Isto basta para nos situar. Temos de ter cautela com os exemplos que nos dão sobre Inteligência Artificial. Um programa joga xadrez desafiando os grandes mestres. Vale como exemplo de Inteligência Artificial?  Julgo que não. Este e outros como o da moça que digita no seu computador a venda de produtos da loja, executa algoritmos, isto é, conjuntos finitos de operações bem definidas programados para atingir determinados objetivos. Podemos acrescentar os trêns do metrô que operam automaticamente sem necessidade de operador, os elevadores sincronizados que atuam em grupo, as máquinas que ajudam na montagem dos carros modernos, etc., etc.. Nada disto convence da existência das “máquinas pensantes” mas temos de reconhecer que por vezes os resultados são surpreendentes.

Fico por aqui. Até à próxima.