Contar e medir

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O primeiro exercício matemático da Humanidade e único durante muitos séculos foi, sem dúvida, o exercício de contar. Na pré-história, o homem escondido em sua caverna, marcava nas paredes pequenos traços verticais, um por cada inimigo morto ou por cada animal abatido ou por quaisquer outras “coisas” do seu interesse. Criou assim o conceito abstrato da “unidade”, um traço por cada “coisa”, o número 1 indivisível. Mas não era suficiente, precisava contar quantos traços tinham sido feitos, ou seja, era preciso criar símbolos para os grupos seqüenciais que se formavam. Um fato natural veio em sua ajuda. Os cinco dedos da sua mão. Um, dois, três, quatro dedos e por último, todos os dedos de uma mão, o número cinco. Tendo isso como base, era possível contar e transmitir para os outros, quantos traços tinham sido marcados. A atuação do homem primitivo consistia portanto na definição de dois conceitos básicos seqüenciais que se somam, o de contar as unidades, isto é, contar os elementos de um conjunto, e o de medir as quantidades contadas. Desta forma a estrutura básica dos sistemas numéricos estava montada, servindo como modelo para todos eles. Vejamos a aplicação feita pelos romanos. Primeiro as suas regras de composição dos números. A leitura dos números romanos faz-se da esquerda para a direita, como aliás ocorre com os números decimais. O valor de cada algarismo é posicional. Um exemplo, os três primeiros números são representados por traços verticais, um traço, dois traços, três traços. Depois “pula” para o número cinco representado por um V. Em seguida os números 4 e 6 são números compostos. A regra é: quando, na leitura, o número menor estiver antes do maior, o número representado é o que resulta da subtração, o maior menos o menor. No caso do número menor estar depois do número maior, então o número resultante é o da soma dos dois. Temos portanto IV que é 4 e VI que é 6. Esta regra é geral para todo o sistema. Exemplo, X é o símbolo de 10, IX é 9 e XI é 11. A numeração romana utiliza letras símbolo para representar as potências de 10, (10, 100 e 1000), e os “cincos” intermediários, (5, 50 e 500). Estes símbolos, ainda hoje em uso, são com os correspondentes números inteiros positivos: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500) e M (1000). Com as regras de composição e com as letras símbolo, os romanos montaram todos os números que necessitavam. Reparem que eles não tinham o zero pois não precisavam dele. O seu sistema não é decimal, não existe nenhum símbolo para o zero.
Os números por vezes parecem ter algo misterioso. Mas não é verdade, os matemáticos dizem que não existe lei matemática que não possa ser demonstrada. Vejamos um exemplo. Com três algarismos quantos números podem ser montados? Suponhamos 1, 2 e 3. O total de números que podem ser obtidos é igual ao produto dos seus algarismos, ou seja, 1x2x3=6. São eles 123, 132, 213, 231, 312, 321, total 6 números. Quer dizer, o total de números que é possível montar com “n” algarismos, chamado “n fatorial”, é o produto desses “n” algarismos. A sua denotação é “n!”, um “n” seguido do símbolo igual ao ponto de exclamação da linguagem corrente. Por que isso? Porque no produto a ordem dos fatores é arbitrária, isto é, o resultado do produto é sempre o mesmo. Se é assim, o produto representa o total de combinações possíveis dos seus algarismos. Este exemplo tem uma simplificação que pode induzir a erro. Se disser que os algarismos são 3, 7, e 9 ou outros quaisquer, o total de números possíveis é também o seu produto? Claro que não. No primeiro caso os algarismos 1,2 e 3 apresentam a ordem dos números naturais, 1 em primeiro lugar, 2 em segundo e 3 em terceiro. Quer dizer, os algarismos já formam um número ordinal, isto é, apresentam a ordem de uma seqüência, ponto de partida para as combinações. No segundo caso não é assim. É preciso fazer a correspondência um-a-um do conjunto dado, enumerável e finito, com o subconjunto 1,2,..,n dos números naturais. Esta correspondência biunívoca, a bijeção – correspondência nos dois sentidos  – forma um número cardinal que permite obter as combinações dos seus elementos, 3 em primeiro lugar, 7 em segundo e 9 em terceiro. Trocando agora os algarismos de lugares obtemos todos os outros números, cujo total continua sendo 6.

Fico por aqui. Até à próxima.