Séries

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Séries representam funções, mostrando a diversidade dos seus modos de evolução. São somas de números inteiros, fracionários, exponenciais, etc., que pressupõem a existência de sequências onde se definem as leis de formação. As séries infinitas classificam-se em convergentes ou divergentes, sendo que as convergentes têm valores limites como resultado da soma infinita das parcelas. A exposição apresenta exemplos diversos, justificando as respectivas categorias. Por último, a hipérbole foi escolhida para descrever curvas monótonas assintóticas a tangentes no infinito. Uma historinha inventada por matemáticos encerra a exposição.

Série é uma soma de números que têm entre si uma relação que define a sua distribuição segundo uma certa ordem. Denominados termos da série, os números formam um conjunto que obedece a uma lei. Isto é, constituem uma sequência numérica. O caso mais simples é o conjunto dos números naturais 1,2,3,…,(n-2),(n-1),n,… . Tem um começo, o número 1 e uma lei de formação: qualquer número é igual ao que o precede acrescido de 1. É possível formar séries de uma maneira indireta, utilizando a sequência dos números naturais. Para isso é necessário que os termos da série tenham uma correspondência, um-a-um, com os elementos do conjunto dos números naturais. Em termos gerais, se s₁, s₂, s₃, … forem os elementos do conjunto dos números naturais e c₁, c₁+c₂, c₁+c₂+c₃, … os termos da série, temos a seguinte correspondência: s₁=c₁, s₂=c₁+c₂, s₃=c₁+c₂+c₃, e assim sucessivamente. Portanto, a série só pode ser definida se possuirmos previamente uma sequência. Na sequência, os termos são individuais, não conectados, mas simplesmente ordenados segundo seus índices. É verdade que os dois conceitos se misturam na maneira como apresentei a série na correspondência um-a-um. A série passou a ser uma sequência infinita de somas não conectadas entre si. Infinita aqui, significa que cada termo é sempre seguido por um outro, formando uma sequência que não termina. Mas no final, a sequência acaba sendo uma série infinita. Vejamos outro aspecto interessante. Na álgebra e no cálculo diferencial e integral os números representam grandezas quantitativas. Mas os números podem ter duas funções bem distintas: contar e medir. Se medir um comprimento com uma fita métrica, estou realizando as duas coisas. Estou contando qual o comprimento medido. Mas isso é apenas porque medi com uma unidade de comprimento, centímetros ou polegadas, que tem as mesmas leis dos números naturais. Podem ter portanto uma correspondência um-a-um. Se tivermos que medir uma área ou um volume, já não é tão simples assim. Temos de definir o que significa medir e o que significa contar, independentemente um do outro. Além disso não podemos esquecer que medir tem sempre um valor relativo. Depende da unidade escolhida como termo de comparação. Este elemento unidade, representado por 1, é um elemento neutro que multiplica o valor medido, indicando o padrão das grandezas da mesma espécie. É o centímetro, a polegada, o quilo, etc., etc., ou seja, são as unidades de base do sistema de pesos e medidas. Agora na matemática é diferente. A unidade é uma entidade abstrata, com uma representação geométrica convencional. É claro que se definirmos o valor da unidade base do comprimento, estamos definindo também todas as unidades derivadas das áreas e volumes.
O termo genérico da série representa a lei de formação da sequência. Não havendo notação em contrário, o símbolo n corresponde à sequência dos números naturais. Por exemplo, n² significa a sequência 1, 4, 9, 16, … ; 1/n a sequência 1, 1/2, 1/3, 1/4, …; (2n-1) a sequência 1, 3, 5, 7, … e assim por diante. A lei de formação das sequências pode ser baseada na adição ou na multiplicação. Por exemplo, a sequência 1, 2, 4, 8, … 2n, … onde a sequência dos números naturais vai sendo multiplicada, um-a-um, por 2, representa uma sequência chamada geométrica. A sequência dos inversos desses números, 1, 1/2, 1/4, 1/8, … é também uma sequência geométrica. No entanto existe uma diferença muito importante entre as duas. Se somarmos sucessivamente os números naturais obtemos números cada vez maiores. É intuitivo. O mesmo acontece com a sequência 1, 2, 4, 8, … . Quer dizer, as duas sequências formam séries divergentes. No entanto, com a série dos inversos 1+1/2+1/4+1/8+… é o oposto, a soma das parcelas tem um limite, converge para o número dois. Isto é, o valor da parcela é cada vez menor, tende para zero, ao mesmo tempo que o valor da soma tende para dois. Observem como a série se desenvolve. Imaginem a extensão do segmento de reta 0 – 1 – 2. Temos 1 ou seja a extensão de 0 até 1. De 1 até 2, a soma avança, de cada vez, sempre a metade do que lhe falta até 2. A soma só atinge o valor 2 no infinito, quando a sucessão das metades se completa no valor zero. É fácil provar isso. Já que temos uma soma que é a sucessão das metades, se a multiplicarmos por 2 devemos obter o total ou seja o valor limite. Assim temos 2S=2(1+1/2+1/4+1/8+…), Quer dizer, obtemos 2S=2+1/2+1/4+1/8+…isto é 2S=2+S. Esta identidade só pode ser satisfeita se S for igual a 2. Portanto a série converge para o número dois. Vejamos outro caso, os inversos dos números naturais, 1+1/2+1/3+1/4+…, a chamada série harmônica. Com esta série isso não acontece. As somas sequênciais, apesar das parcelas diminuirem de valor, são sempre crescentes o que faz com que a série seja divergente. Reparem que as duas primeiras parcelas nas duas séries são iguais. Vejamos as restantes parcelas nos valores da série convergente. Para 1/4 da convergente temos a parcela adicional 1/3 da divergente, para 1/8 da convergente temos as parcelas adicionais 1/5, 1/6, 1/7 da divergente, para 1/16 da convergente temos 1/9, 1/10, 1/11, 1/12, 1/13, 1/14, 1/15 da divergente e assim por diante. Ou seja, na série harmônica, o número de parcelas adicionais que se incorporam à série convergente, cresce de tal forma que ela torna-se divergente. Apesar disso, sendo o valor das parcelas adicionais cada vez menor, a série harmônica cresce lentamente.
Consideremos agora outro tipo de convergência. O de uma curva que se aproxima continuamente de uma linha reta, atingindo-a somente no infinito. Isto é, uma curva monótona assintótica a uma linha reta tangente no infinito. É monótona por ser sempre crescente ou sempre decrescente. É o caso da hipérbole, lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença das distâncias a dois pontos fixos (focos) é uma constante. As duas curvas da hipérbole são iguais e simétricas em relação a um eixo vertical que passa pelo seu centro. Os dois ramos opostos e invertidos, são assintóticos a duas linhas retas que se cruzam no centro. Cada linha reta é a assíntota de dois ramos, um de cada lado. Um é crescente e o outro decrescente. Cada ramo das curvas converge atingindo a linha reta tangente no infinito. A distância dos pontos da curva à linha reta assintótica, medida na perpendicular à reta, tende para zero no infinito.

Os matemáticos gostam de inventar histórias de fundo matemático. Vou contar a que trata da aplicação de uma série. O xá da Pérsia recebeu de presente de um dos seus súditos o jogo de xadrez, que o deixou maravilhado. Mandou chamar o inventor e disse que queria recompensá-lo. Perguntou-lhe o que desejava receber e ficou admirado pela modéstia da resposta. O inventor disse que queria um grão de trigo na primeira casa do tabuleiro, dois grãos na segunda casa, quatro grãos na terceira, oito grãos na quarta, e assim por diante até preencher as 64 casas do tabuleiro. O xá chamou o seu grão vizir e disse-lhe para atender imediatamente o pedido. Qual foi o seu espanto quando o grão vizir retornou, dizendo-lhe que nem todo o trigo armazenado nos silos do reino daria para satisfazer o pedido do inventor. De fato, o que ele pediu foi o total da série 1+2+4+8+16+32+…+263 um assombroso número de 20 dígitos, ou seja, 18 mil trilhões, 446 bilhões, etc., etc. de grãos. Considerando que 100 grãos ocupam um volume de 1cm³, o total pedido daria dois mil milhões de vagões ferroviários dando mil voltas à Terra.

Fico por aqui. Até à proxima.