Igualdades e Desigualdades

Henrique Cruz

Jul 22 |17:16

Vocês devem-se lembrar de eu ter dito em trabalho anterior que a álgebra é a generalização da aritmética onde os valores concretos dos números são substituídos pelos valores abstratos das letras minúsculas do nosso alfabeto. Pois bem vejamos as relações mais simples que se podem estabelecer entre esses valores abstratos como sejam as igualdades. Temos então “a=b”, isto é, duas letras ligadas pelo sinal igual representado por dois pequenos traços horizontais um em cima do outro. Mas atenção, não existem dois números que sejam ao mesmo tempo iguais e diferentes. Logo a relação “a=b” só pode ser satisfeita se for “a=a”, isto é, se o número “a” for igual a si mesmo o que obviamente não interessa a ninguém. Mas vejamos o que acontece se em vez dos números naturais passarmos a lidar com os números reais. Lembrem-se que os números reais englobam os números naturais, os números inteiros racionais e irracionais. Vejamos um exemplo, a raiz quadrada de 9, ou seja o número 3. É um número natural mas sendo o resultado de uma raiz quadrada está sujeito aos dois sinais + e -. Sendo assim ao único número natural 3 ou seja ao valor absoluto de 3 que é o número 3 sem os sinais, correspondem dois outros números iguais e diferentes +3 e –3 o que não é nenhuma contradição pois resulta das propriedades dos números reais. Temos então as seguintes identidades +3=+3 e –3=-3. Com as desigualdades não é isso que se observa. Se “a>b”, isto é se “a” for maior que “b” então o inverso é “b”menor que “a”. No entanto são as igualdades que promovem a expansão da matemática, pois as desigualdades têm um campo de aplicação muito limitado. Uma aplicação da desigualdade é o “corte de Dedekind” matemático alemão (1831-1916) que determina que um número irracional infinito como, por exemplo, a raiz quadrada de 2 pode ser representado num eixo numérico pois ele é o número que separa o conjunto dos números menores que ele do conjunto dos números maiores que ele. Voltemos às igualdades, os simples conceitos das igualdades abrem o caminho para o cálculo integral e diferencial. Vejamos o exemplo – 3+x=0, passando o “-3” para o 2º membro da igualdade o 3 muda de sinal dando ‘x=+3’, isto é obteve-se o valor da incógnita que soluciona a equação. O número 3 abstraído dos sinais é chamado de “valor absoluto do número” e é representado pelo símbolo de dois traços verticais limitando o número “/3/”. Vejamos agora um caso interessante de igualdade, “a regra de três”. Suponhamos que um objeto que custa R$300,00 estivesse sendo vendido com um desconto de 20%. Qual teria sido o valor pago pelo comprador? Trata-se de uma igualdade entre duas proporções, ou seja, 100 está para 20 assim como 300 está para x. Como vocês devem saber o produto dos valores extremos é igual ao produto dos valores meio, isto é, o produto do numerador da 1ª fração pelo denominador da 2ª fração (valores extremos) é igual ao produto do denominador da 1ª fração pelo numerador da 2ª fração (valores meio). Temos então 100x=20.300, portanto o desconto na compra foi de R$60,00 e o objeto foi vendido por R$240,00.

Fico por aqui. Até à próxima.

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