As funções derivadas resultam do desenvolvimento do cálculo diferencial e têm larga aplicação nas ciências exatas. Vejamos um exemplo elementar. Consideremos, não o círculo, mas a sua linha limite de contôrno, a circunferência. É óbvio que a circunferência é uma curva contínua pois não apresenta “falhas” ou “saltos” quando um dos seus pontos gira em toda a extensão da circunferência no sentido convencional anti-horário. Portanto a circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos do plano equidistantes de um ponto fixo chamado centro. Suponhamos agora uma linha reta tangente à circunferência. Em geometria uma linha reta é tangente a uma curva, qualquer que seja, quando e só quando a curva e a tangente têm um único ponto comum. Sendo assim, os dois lados da curva adjacentes ao ponto comum têm que ser simétricos. Ou seja, a linha reta perpendicular à tangente no ponto de tangência, passa pelo centro da curvatura no ponto de tangência. Observem o seguinte. Comecei a exposição citando uma curva específica, a circunferência, e acabei aplicando os mesmos conceitos a um segmento de curva qualquer. Isto significa que as conclusões a que cheguei espressam os conceitos básicos fundamentais da derivada. Vejamos agora um interessante exemplo da Física. Suponhamos um corpo rígido em movimento. Se este fôr uniforme, a velocidade instantânea em qualquer ponto  do percurso é sempre a mesma, igual portanto à velocidade média. Neste caso nada temos a considerar como derivada. Mas suponhamos que o corpo tem um movimento uniformemente acelerado. Galileu, (1564-1642), astronômo, físico e escritor italiano, já tinha dito que se não levarmos em conta o atrito ou qualquer força que lhe seja oposta, a força aplicada ao corpo rígido determina a aceleração e não a velocidade. Temos então que a velocidade representa a taxa de variação do percurso percorrido na unidade escolhida do tempo decorrido. Agora a aceleração é a taxa de variação da taxa de variação da posição do corpo em relação ao tempo. Temos então que a velocidade é a primeira derivada da função e a aceleração  a segunda derivada, ou seja, a derivada da derivada da função. Por outras palavras, a velocidade é uma função constante, não tem nenhum incremento no tempo visto que a sua aceleração é zero. Se é uma função constante a derivada é zero. Agora quanto à aceleração, ela tem um acréscimo constante ao longo do tempo. Entáo apresenta só uma derivada visto que o acrésecimo é constante, ou seja a derivada é 1. Consideremos agora as potências crescentes da ordenada “x”. Para x3 temos 2 derivadas, para x4 três derivadas, x5 quatro derivadas e assim sucessivamente. Para xn temos “n–1” derivadas. Observem que se fizermos a derivaçâo ininterrupta da função de grau “n”  passamos de grau “n” para “n–1”, depois para “n–2”, depois para “n-3” até terminar no grau zero. Vejamos agora o seguinte. Se somarmos funções do mesmo grau não aumentamos o número de derivadas, mas se multiplicarmos potências de qualquer grau, o número de derivadas aumenta para o grau resultante da soma dos graus iniciais. Também se dividirmos duas potências, desde que o grau do numerador seja superior ao grau do denominador, a função resultante diminui para o grau resultante da subtração dos graus iniciais. Conclusão; a derivada da soma é igual à soma das derivadas, a derivada do produto é igual ao produto das derivadas e a derivada da divisão é igual a divisão das derivadas. São estes conceitos que fazem com que as derivadas tenham tão ampla aplicação. Podiamos ainda estender o conceito de derivada às funções circulares da trrigonometria, diretas e recíprocas, como por exemplo as funções do seno e do co-seno, em que a derivada do seno é o co-seno e a derivada do co-sseno é –seno. Mas seria etender demais o meu trabalho.

Fico por aqui. Até à próxima.