Funções

Fundamentos

By Henrique Cruz /

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Função é o conceito fundamental da álgebra. É ele que define as relações entre variáveis e estabelece as leis que regem os fenômenos físicos. A visualização das suas linhas geométricas no plano cartesiano, é um poderoso instrumento de compreensão do significado matemático. A abordagem é forçosamente elementar, mas apresenta desde logo grande riqueza de detalhes.

Função, na expressão mais simples, é uma relação de dependência entre duas variáveis,  a independente x e a que lhe corresponde, a dependente y. Podemos portanto dizer: y é  função de x. O termo função também faz parte da linguagem cotidiana. Por exemplo, a tabela da evolução do pêso de uma pessoa, define que o pêso é função da altura, embora neste caso, função não tenha nenhum significado matemático. O mesmo não acontece com a área de um círculo. É igual a 3,1416… vezes o raio ao quadrado. Portanto, a área (variável dependente) é função do raio (variável independente). Da mesma maneira, o perímetro de uma circunferência é função do diâmetro P=3,1416… D. Na área, a função é uma equação do 2º grau, no perímetro é uma equação do 1º grau. Vejamos agora como se formam as funções racionais, as chamadas funções polinomiais. Consideremos o teorema fundamental da álgebra. Em trabalho anterior, dissemos que uma equação algébrica de grau n, ou seja, a equação a_o+a₁ x+a₂ x²+ … +a_n xⁿ  = 0 tem exatamente n raízes. Mas este teorema pode ter outro enunciado: toda função racional completa pode ser expressa por um produto de tantos fatores do 1º grau quantos o seu grau indica. Esclareço. O grau de uma equação é o valor mais elevado do expoente de x. Uma equação completa é a que apresenta toda a sequência de termos, ou seja, de x_o até x_n. Não esqueçam que x^o é igual a 1. Portanto, a equação por ordem crescente, começa com uma constante a_o. Depois vai até x^_n apresentando os coeficientes de cada termo, a₁, a₂, … a_n.. A equação acima é um polinômio, isto é, uma equação algébrica formada por uma soma finita de termos chamados monômios. Se a equação for do 2º grau é um binômio. Se for do 3° grau é um trinômio. Monômio é um termo formado pelo produto de um número, o coeficiente, vezes a variável x, isto é, a_nxⁿ. Como exemplo escolhemos o binômio  ax² + bx + c = 0, ou seja, a função quadrática. Vamos a um exercício. Suponhamos o binômio  4x² – 13x + 3 = 0. É uma função do 2º grau, completa, ordenada no sentido decrescente, ou seja, uma função quadrática. Tratando-se da forma padrão, podemos aplicar diretamente a fórmula quadrática para se obter as suas raízes. Não vou fazer a exposição completa por ser muito simples, mas dou algumas “dicas”. Substituindo as letras pelos números correspondentes, temos o radical, a raíz quadrada de 121 que é 11. Portanto + ou  – 11. Com +11 temos a raíz 3, com –11 a raíz 1/4. Agora podemos obter os dois fatores do 1°grau correspondentes, conforme o teorema fundamental da álgebra. São  (x-3).(4x-1). Para x=3 o primeiro fator anula-se, para x=1/4 é o segundo fator que se anula.
No exercício, apresentei primeiro a função quadrática e depois os fatores do 1° grau, por me parecer mais fácil explicar a relação que existe entre ambos. No entanto, na matemática, procede-se de modo inverso, primeiro estudam-se os fatores do 1° grau e depois a função quadrática correspondente. É assim porque o teorema fundamental da álgebra nos diz que todas as funções racionais completas podem ser expressas pelo produto de tantos fatores do 1° grau quantos o seu grau indica. Reparem que este teorema só é válido, se e somente se, o resultado do produto dos fatores do 1° grau fôr uma função racional completa. Portanto, uma vez dados, ou escolhidos, os dois fatores do 1°grau, basta eliminar os parenteses realizando as operações de multiplicação e soma, para se obter a função quadrática correspondente. Se ela for completa, o objetivo foi atingido, as raízes da função quadrática satisfazem os fatores do 1° grau. Voltemos ao mesmo exercício. Para eliminar os parenteses de (x-3).(4x-1) aplicamos a propriedade distributiva, multiplicando cada termo do segundo binômio, primeiro por x e depois por –3. Obtemos 4x²-x-12x+3. Somando os coeficientes dos dois termos em x, temos a equação quadrática, que na forma padrão é 4x²-13x+3=0.
Reparem. O teorema fundamental da álgebra refere-se a funções racionais completas. O que é uma função racional? Funções racionais têm o mesmo significado que números racionais. Número racional é o quociente da relação de números inteiros cuja divisão tem resto zero. Se p e q forem números inteiros, (q não sendo zero), p/q será um número racional se p for múltiplo de q. Agora se P(x) e Q(x) forem polinômios, (Q(x) não sendo zero), P(x)/Q(x) será uma função racional. Se a fizermos igual a zero temos uma equação racional. Mas se p não for múltiplo de q o quociente será um número irracional, isto é, um número infinito não periódico. Se for um número infinito, mas periódico, o número é racional. Portanto o domínio de uma função racional completa, é o conjunto dos números reais que podem substituir a variável x. Números reais são os números racionais junto com os números irracionais. Confuso? Passo a explicar detalhadamente. Suponhamos o conjunto de números inteiros, positivos e negativos, mais o zero. Admitamos que este conjunto seja dotado, somente, das operações soma e multiplicação. Não precisamos citar a subtração, apesar de incluida, pois a subtração não é mais do que a soma de um número positivo com um número negativo. O que acontece com este conjunto? O resultado das operações, quaisquer que sejam os números adotados, serão números que também pertencem ao mesmo conjunto. Quer dizer, o conjunto é fechado em si mesmo. As operações, soma e multiplicação, podem ser realizadas indefinidamente que os números obtidos serão sempre da mesma categoria. Uma vez racionais continuam sempre racionais. Os matemáticos dizem que este tipo de conjunto tem um domínio em forma de anel. Domínio é o “espaço” onde se situam os elementos do conjunto. Por quê esta figura simbólica para definir o domínio do conjunto? Suponhamos o plano cartesiano e os seus dois eixos ortogonais preenchidos pelos elementos de dois conjuntos do tipo citado no início. Todo o ponto do plano, definido pela soma ou pela multiplicação dos números racionais, está situado a uma mesma distância infinita do seu limite, qualquer que seja a direção do seu desenvolvimento. Nem mais nem menos. Portanto, o ponto no plano, qualquer que seja, será sempre o centro de um anel. Suponhamos agora que o conjunto citado seja dotado também da divisão. Apesar de se tratar de uma relação de números inteiros, o resultado da divisão também pode ser de números irracionais, isto é, de números infinitos não periódicos. Sendo assim, os números racionais não são suficientes para abranger todos os resultados possíveis. Temos de expandir os sistemas numéricos operando com os números reais, ou seja, com o conjunto dos números racionais e irracionais. É óbvio que o sistema dos números reais forma um conjunto fechado às quatro operações, soma, subtração, multiplicação e divisão. Ele cobre inteiramente todos os resultados possíveis dessas operações. Nada pode estar fora. Também podemos dizer que o conjunto citado é composto pelos números racionais e pelos números fracionários. É a mesma coisa que dizer que introduzimos a divisão. Este sistema tem o campo como domínio visto que ele abrange todos os pontos do plano. É claro que ainda pode surgir um impasse, que são os números complexos ou seja, a raíz quadrada dos números negativos. Mas isso é outro tipo de problema  Esses números não existem e por isso é necessário criar os números imaginários. Assim, o sistema realmente completo é o dos números complexos, com o eixo real de todos os números reais e o eixo imaginário de todos os números imaginários. Nas  exposições sobre funções,  os matemáticos preferem os números complexos, pois assim podem responder a qualquer solicitação da álgebra.
Encerro por aqui. Até à proxima.