Passando a limpo

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A intuição na matemática perdeu espaço, mas, em compensação, o pensamento matemático procura percorrer todos os caminhos logicamente possíveis. A matemática tornou-se densa, profunda e sem limites. Esta situação provoca inevitáveis desencontros na sua divulgação, que afetam a coerência do conhecimento. Remover, pelo menos , os principais obstáculos passa a ser uma obrigação do expositor.

Relendo o já publicado, achei que alguns tópicos isolados mereciam ser mais explicados. Vamos então a eles.

1. Os números reais não são contáveis.
Quem afirmou foi Georg Cantor, (1845-1918). Eu disse que todos os sistemas numéricos eram infinitos e que o infinito era inatingível. Portanto, todos os sistemas numéricos não seriam contáveis. Estas duas afirmações não são conflitantes. Cantor argumentou que havia duas categorias de números. Uma, a dos inteiros, dos racionais e dos algébricos, formada por números de quantidades finitas de algarismos e a outra, a dos números irracionais, todos com quantidades infinitas de algarismos. Suponhamos, disse Cantor, que começo a escrever a seqüência dos números inteiros, racionais e algébricos. Não vou conseguir atingir o infinito, mas estou avançando na sua direção. Com os números irracionais isso não é possível. Vejamos como Cantor comprovou a sua tese de que os números irracionais não podem ser contados. Lembrem-se que os números para serem contados, têm de pertencer a um sistema ordenado, o que não acontece com os números irracionais. Estes são de uma quantidade infinita de números infinitos, sem nenhuma relação entre si. No entanto, mesmo assim, os números irracionais, na sua representação decimal, podem-se classificar, cada um em relação aos demais, como > ou <. Para comprovar a sua tese, Cantor montou uma matriz de números irracionais O teste pode ser feito com quaisquer números, desde que sejam infinitos. Por favor, façam a montagem da matriz com os dados que vou ditar. Escrevam: na 1ª linha 45798…, na 2ª linha 63891…, na 3ª linha 57133…, na 4ª linha 86250…, na 5ª linha 74462…. Traçando agora uma diagonal a partir do dígito 4 do número da 1ª limha, obtemos o número irracional 43152…(dígitos destacados em negrito nos números dados). O número que se obteve foi um número irracional diferente de todos os outros. Se incorporarmos este novo número à matriz, colocando-o em uma nova linha, intercalada ou não, obtemos um novo número irracional diferente dos demais. Fazendo uma nova diagonal, obtemos novo número diferente e assim sucessivamente, sem limite. Conclusão, a prova da diagonal mostra que a quantidade de números irracionais é ilimitada e se tentarmos contá-los, ficamos sempre no mesmo lugar.
Cantor foi ainda mais longe. Já que os números finitos eram contáveis, poder-se-ia admitir que a sua contagem atingisse o infinito. Assim, ele seria representado por um número cardinal, correspondendo ao infinito de menor dimensão. Quanto aos números infinitos, poder-se-ia contar somente os correspondentes a pontos do eixo numérico, criando o segundo número cardinal do infinito seguinte. Por último, seriam contados os pontos de todas as curvas geométricas do plano, obtendo-se o terceiro infinito. Cantor chamou de números transfinitos, aos números cardinais assim concebidos, representando os tamanhos de cada infinito, denotando-os com a primeira letra do alfabeto hebraico, alef, tendo como índices o seu número ordinal 0, 1 ou 2.
Até hoje não se descobriu nenhuma aplicação dos números transfinitos. Apesar disso, temos de reconhecer a prodigiosa criatividade de Cantor ao introduzir a aritmética no infinito.

2. Por que é que o teorema fundamental da álgebra é fundamental?
Demos ao teorema a seguinte definição; Qualquer função racional completa pode ser expressa pelo produto de tantos fatores do 1ºgrau, quantos o seu grau indica. O que isto significa? Sabemos que para um produto de fatores ser igual a zero, é necessário que, pelo menos, um dos fatores seja zero. Quer dizer, se tivermos uma equação de grau n de uma função racional completa, ela será igual ao produto de n fatores do 1ºgrau, em que cada fator ao se tornar igual a zero, anula a equação dada. Como todos os fatores são do 1ºgrau, cada um fornece um valor que anula a equação. Isto é, o produto fornece tantas raizes da equação quanto o número de fatores. Assim, o teorema fundamental da álgebra pode ter, também, a seguinte definição: Todo polinômio de grau n, maior ou igual a 1, com coeficientes reais ou complexos, tem n raizes reais ou complexas. Quer dizer, se desenvolvermos o produto dos fatores do 1°grau, de que trata o teorema fundamental, (eliminando os parênteses curvos), obtemos um polinômio que é a expressão de uma forma algébrica racional inteira, em que cada raiz é o valor da variável que anula o produto.
O teorema fundamental da álgebra foi demonstrado por Carl Friedrich Gauss, (1777-1855), matemático alemão, que publicou a sua primeira versão em 1799. Gauss retomou este assunto várias vezes, sendo que a quarta e última versão foi em 1849, quando estendeu os coeficientes aos números complexos.
Conforme o grau, a equação do polinômio pode ser quadrática (2ºgrau), cúbica (3ºgrau), quártica (4ºgrau), quíntica (5ºgrau), etc., etc. Vejamos o caso mais simples, o do polinômio de uma única variável. O polinômio de grau n é inteiro, (ou completo), quando constituido por uma soma finita de termos, os monômios, representando a seqüência completa das potências da variável, de n até 0. A ordem da seqüência pode ser tanto decrescente, como a indicada, como crescente. Os termos da variável têm coeficientes reais ou complexos, sendo que o de potência zero corresponde a uma constante.
Assim, com os polinômios, o teorema fundamental estrutura toda a álgebra, abrindo caminho para a resolução das equações. Será possível resolver todas as equações, qualquer que seja o seu grau, por meio de radicais? Esta e outras questões envolveram os matemáticos, que a pouco e pouco, foram obtendo as respostas do que hoje constitui a álgebra.

Em matemática, quanto mais se explica mais se complica. Não se preocupe, deixe repousar para usar no futuro. Faça como os matemáticos, que ruminam o tempo todo os seus temas. A sua vez chegará.

Vou voltar atrás. Agora que passou o tsunami, volto ao princípio, às regras elementares. Até à próxima.

 

Palavras-chave: números irracionais, Cantor, prova da diagonal, teorema fundamental da álgebra, Gauss