De coisas simples 2

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De coisas simples (2) é uma continuação do exercício anterior. Mantendo o seu estilo coloquial, abordo mais dois itens: “o que é um radiano” e “a regra dos sinais da multiplicação”. Os conceitos são apresentados de uma forma clara e completa, procurando não deixar pontos obscuros.

Vou continuar no mesmo tema. Vale a pena.

1. O que é um radiano?
Vocês já devem ter reparado que, às vezes, os matemáticos fazem questão de afirmar que o ângulo “é medido em radianos”. Por que essa preocupação? Não pode ser medido em graus? Não, não pode. São coisas diferentes. Vejamos por quê. Comecemos com René Descartes, (1596-1650), filósofo e matemático francês, que, em 1637, publicou La Géométrie criando a geometria analítica. Quer dizer, criou um espaço onde os pontos são representados por números. Da sua proposta, resultou o sistema de coordenadas cartesiano, dois eixos numéricos que se cruzam ortogonalmente, em que o ponto comum é a origem das coordenadas. O que hoje nos parece banal de tão utilizado, o sistema de referência cartesiano constituiu o marco inicial da matemática moderna, algo considerado como obra de um gênio. Pois bem, além de definir por duas coordenadas a posição de qualquer ponto do plano, o sistema cartesiano permite também definir o ângulo de rotação, que uma reta radial faz com o eixo horizontal de referência. Esse ângulo vai de zero a uma rotação completa e a sua unidade de medida é o grau. No 1º quadrante, de 0 a 90 graus; no 2º quadrante, de 90 a 180 graus; no 3º quadrante de 180 a 270 graus; no 4º quadrante de 270 a 360 graus. O sentido positivo convencional de rotação é o anti-horário. Traçando círculos com centro no ponto 0, a reta radial em qualquer posição, faz sempre o mesmo ângulo, medido em graus, com todos eles. A medição em graus mede apenas a abertura do ângulo, nada mais. Como o ponteiro dos minutos no mostrador de um relógio, sempre o mesmo qualquer que seja o seu tamanho, só que com 60 partes iguais. Passemos ao outro caso. Consideremos um sistema de referência no plano que é uma variante do anterior, o sistema de coordenadas polares. Qualquer ponto P do plano, pode ser definido por uma semi-reta ligando o ponto 0 ao ponto P, determinando dois parâmetros; o ângulo que a semi-reta faz com o eixo numérico horizontal fixo e a distância 0-P. O ângulo aqui é um dos parâmetros, dos dois necessários e suficientes à definição da posição do ponto no plano. Portanto, a semi-reta é também um eixo numérico, pois é nela que se marca a distância 0-P. Assim, a sua unidade de medição tem de ser a mesma da do eixo numérico fixo, isto é, igual ao comprimento 0-1, raio do círculo unitário com centro em 0. Agora, todos vocês sabem, que, num círculo, a relação dos comprimentos, da circunferência e do diâmetro, é uma constante, qualquer que seja o tamanho do círculo. Ou seja, é sempre o mesmo número, denotado pela letra grega pi, (deixo de apresentar o símbolo grego devido à dificuldade de inserção em html. Vocês devem usar o símbolo e não esta facilidade). Claro que se é uma constante para o diâmetro, também o é para o raio. Consideremos então o círculo unitário. O radiano é o arco da circunferência do círculo unitário, de comprimento igual ao raio. Vejam que é uma unidade de medição que é definida só para o círculo unitário. Mas agora tem um problema. O número pi é um número transcendente, isto é, infinito e não álgebrico. É um número isolado, cujo valor exato não pode ser alcançado por ser infinito. Portanto, a definição de radiano baseada no pi, dá uma unidade de medição que não tem posição exata no eixo numérico. Mas então não serve para nada! Como medir com uma unidade que a gente não conhece? Calma, não é bem assim. O número pi, sem dúvida, tem uma posição exata no eixo numérico. O fato de ser infinito não invalida esta afirmação, mas torna impossível saber exatamente qual é. É a impossibilidade da quadratura do círculo, ou seja, a de obter um quadrado cuja área seja igual à do círculo. Os Gregos da Antiguidade já sabiam disso. Antes deles, os Egípcios e os Babilôneos mediram, com uma fita, os comprimentos de meia circunferência de um círculo e o do seu raio e constataram que a meia circunferência era três vezes o comprimento do raio e mais alguma coisa que não souberam medir. Começou assim com o número 3, a definição do valor de pi. Hoje sabemos que podemos dar a pi o valor 3,1416, número finito arredondado, que é suficiente para as nossas avaliações. Mas meia circunferência corresponde a 180 graus e sendo o raio a unidade de medição, 180 graus dividido por pi, arco do ângulo raso, dá o valor, em graus, de um radiano. Esse valor é aproximadamente 57,3graus. Aproveitando a correspondência de graus para radianos, podemos quantificar, em radianos, os quadrantes do sistema de coordenadas retangulares. No 1º quadrante, 0 a pi/2 radianos; 2º quadrante, pi/2 a pi radianos; no 3º quadrante pi a 3pi/2 radianos; 4º quadrante 3pi/2 a 2pi radianos. E assim fica definido o radiano como medida de um ângulo.

2. A regra dos sinais
Todos nós aprendemos na escola, a regra dos sinais na multiplicação. Aprendemos é um modo de dizer, decoramos tudo, sem explicação. Vejamos quais são. Para simplificar consideremos o número 1, Temos então:
(+1)x(+1)=+1; (– 1)x(+1)=(– 1); (– 1)x(– 1)=(+1); (+1)x(– 1)=(– 1). Lembro-me das crianças cantando; mais por mais dá mais; menos por mais dá menos; menos por menos dá mais; mais por menos dá menos. Outros tempos!
Passemos à explicação. Na matemática temos convenções e é preciso que sejam coerentes para não se entrar em contradição. Já sabemos que o sentido de rotação anti-horário é, por convenção, positivo. Logo, no sistema de coordenadas cartesiano, o sentido de rotação positivo começa no 1º quadrante, passa para o 2º, depois para o 3º para se encerrar no 4º quadrante. Suponhamos que no sistema de coordenadas cartesiano, traçamos todas as paralelas aos eixos, a fim de obter os pontos do plano correspondentes aos seus números inteiros. Obtemos uma malha quadriculada, onde os pontos de cruzamento são representados por pares de números, (x,y), cuja ordem é, por convenção, sempre primeiro a abscissa – eixo dos xx – e depois a ordenada – eixo dos yy. Muito bem. Lancemos agora, em cada quadrante, o ponto 1 com os respectivos sinais. Formamos um quadrado que, por sua vez, é formado por quatro quadrados, um em cada quadrante. Vamos então percorrer o perímetro de cada um desses quadrados, começando pelo ponto (0,0) e terminando nesse mesmo ponto. No 1º quadrante: começa no (0,0), vai para a direita para (+1,0), sobe para (+1,+1), vai para a esquerda para (0,+1) e desce para (0,0). Sentido da rotação anti-horário, positivo. Logo o resultado da multiplicação de (+1)x(+1) é (+1). No 2º quadrante: começa no (0,0), vai para a esquerda para (– 1,0), sobe para (– 1,+1), vai para a direita para (0,+1) e desce para (0,0). Sentido da rotação horário, negativo. Logo, o resultado é (– 1)x(+1) é (– 1). No 3º quadrante: (0,0) para (– 1,0), para (– 1,– 1), para (0,– 1), para (0,0). Sentido da rotação anti-horário, positivo. Resultado (– 1)x(– 1)=(+1). No 4º quadrante: (0,0) para (+1,0), para (+1,– 1), para (0,– 1), para (0,0). Sentido horário, negativo, logo (+1)x(– 1)=(– 1).

Termino aqui a minha exposição. Até à próxima.

Palavras-chave: radianos, sinais