Fundamentos By Henrique Cruz / Share 0 Tweet Nos trabalhos anteriores apresentei o sistema numérico desdobrado nas suas diversas categorias, mostrando as insuficiências de cada categoria e como superá-las mediante expansões sucessivas. Iniciando pelos números naturais e anexando o número zero passei aos números inteiros positivos e negativos, aos racionais, algébricos, fracionários, irracionais, transcendentes e finalizando nos números reais. Parecia portanto que a expansão numérica estava completa devido à propriedade dos números reais de apreesentar entre dois números sucessivos sempre um terceiro, por mais póximos que estejam entre si os números escolhidos. É a chamada “hipótese do continuum” da sequência ininterrupta dos números reais sem “saltos” ou descontinuidades de qualquer natureza. Mas vocês devem lembrar da pequena ressalva que coloquei “pondo de lado os números complexos”. Qual o motivo dessa minha preocupação? De fato os números complexos são números um tanto “estranhos” digamos assim. Eles não deviam existir pois resultam de uma operação impossivel de se realizar, a raiz quadrada de um número inteiro negativo. Por exemplo, a raiz quadrada de 4 é 2 mas a raiz quadrada de –4, 4 com o sinal menos, não pode ser realizada. Nenhum número elevado ao quadrado pode ser negativo. Assim é a regra dos sinais: +2 X +2=+4 mas –2 X –2 é também igual a +4. Mas a raiz quadrada de um número inteiro negativo pode acontecer, como por exemplo na equação x2+1=0 e é por isso que temos que saber como resolver o impasse. Vocês devem ter reparado que todas as vezes que se apresenta a raiz quadrada de uma expressão matemática o símbolo da raiz quadrada vem precedido dos sinais + e – . Isso quer dizer prcisamente que os dois resultados, positivo e negativo, têm de ser considerados. Vejamos a regra dos sinais que diz: mais vezes mais dá mais; menos vezes mais dá menos; menos vezes menos dá mais; e mais vezes menos dá menos. Os compêndios de matemática geralmente não explicam por que a regra dos sinais é assim. Vejamos a razão. Consideremos o plano cartesiano dividido em quatro quadrantes mediante dois eixos numéricos ortogonais, o eixo horizontal dos xx ou eixo das abcissas e o eixo vertical dos yy ou das ordenadas, cruzando-se no ponto zero inicio da contagem dos nímeros naturais inteiros nos dois eixos. Convencionalmente os quadrantes são ordenados 1º, 2º, 3º e 4º no sentido de rotação positivo, ou seja anti-horário. Para obtermos a regra dos sinais temos de considerar o sentido de rotação dentro de cada quadrante levando em conta que o par de coordenadas de um ponto do plano é sempre (x,y), primeiro a abcissa e depois a ordenada. Poi bem, no 1º quadrante o sentido da rotação é anti-horário ou seja positivo; no 2º quadrante é horário logo negativo; no 3º quadrante volta a ser anti-horário portanto positivo; e no 4º quadrante horário, negativo. Há cêrca de 100 anos a. C. Heron de Alexandria abordou os números complexos obtendo a solução da raiz quadrada de menos 63. Por sua vez em 1545 Girolamo Cardan apresentou o resultado do produto de 5 mais a raiz quadrada de menos 15 vezes 5 menos a raiz quadrada de menos 15. Realizando os produtos o resultado é dado por 52 + 15 = 25+15 = 40. Volto a manifestar a minha admiração pela profunda capacidade intelectual desses pioneiros que apesar da precaridade do conhecimento conseguiram investigar fundamentos que hoje fazem parte da matemática moderna. Mas para que fosse alcançada a completa interpretação dos números complexos foi necessário esperar por Gauss, (Johann) Carl Friedrich, (1777-1855), matemático alemão considerado um dos grandes da história da matemática. Gauss colocou os números complexos no plano cartesiano dando-lhes a forma aigébrica a+bi onde “a” e “b” são números reais e “i” a unidade imaginária igual a i 2 = – 1. Os dois eixos ortogonais cruzando-se no ponto 0 são: o eixo horizontal dos números reais “a” chamado de eixo real e o eixo vertical dos números imaginários “bi” chamado de eixo imaginário. As grandezas “a” e “b” são iguais em valor absoluto, tanto no eixo real apresentando a sequência 1, 2, 3, … englobando todos os números reais quanto no eixo imaginário a sequência 1i, 2i, 3i, …englobando todos os números imaginários. Gauss conseguiu assim obter desta maneira admirável, uma representação geométrica englobando todas as categorias númericas sem exceção encerrando as suas expansões. Fico por aqui. Até à próxima.
