Conceitos elementares

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O clássico relógio de parede, de ponteiros, serve de modelo para a análise da contagem do tempo em horas, minutos e segundos. A divisibilidade e a periodicidade da natureza do tempo são representadas por módulos numéricos, classes de números congruentes, que produzem os mesmos efeitos. Os conceitos obtidos são transferidos para a função seno do círculo unitário e, de modo análogo, é abordada a curva senoidal. As conclusões são aplicadas à física das vibrações, ressaltando a sua enorme diversidade. A exposição termina com uma referência a Galileu. 

A matemática começa pela aritmética sendo fundamental conhecer a “natureza” dos números. Através deles apreende-se a “natureza” das funções. Não existem “facilidades” ou outros caminhos que possam ser utilizados. Vamos partir de algo bem simples para abordar alguns conceitos elementares. Suponhamos o mostrador de um relógio de ponteiros, o muito conhecido relógio de parede. Tem três ponteiros, das horas, dos minutos e dos segundos, todos com o mesmo eixo de rotação, o centro do círculo do mostrador. As suas pontas percorrem a circunferência do círculo, movimentando-se no sentido horário. Não é bem assim. O ponteiro das horas é um pouco menor que o ponteiro dos minutos, para não se confundir com ele. É um detalhe que não interessa para o meu propósito. Os três ponteiros giram, cada um com a sua velocidade. O das horas é o mais lento, seguido pelo dos minutos, depois pelo dos segundos. Essas três velocidades de rotação são sincronizadas, a fim de fornecerem a leitura correta do tempo, em horas, minutos e segundos. Um detalhe importante, as velocidades de rotação são constantes, sempre as mesmas. Analisemos agora essa máquina de medir o tempo, o nosso relógio, como se fosse a figura geométrica de um círculo. Já disse em trabalho anterior, que o círculo é o lugar geométrico dos pontos do plano eqüidistantes de um ponto fixo chamado centro. Se considerarmos um ponto que se desloca traçando a circunferência do círculo, o centro é o ponto fixo desse movimento. Os matemáticos escolhem como positivo o sentido de rotação anti-horário, mas trata-se de pura convenção. Nada se altera se elegermos o sentido horário como positivo. O conceito do círculo como o lugar geométrico dos pontos do plano eqüidistantes de um ponto fixo chamado centro, é uma definição perfeita mas insuficiente. Precisamos definir os eixos ortogonais cartesianos, tendo o ponto de cruzamento como centro do círculo, para obtermos o ponto de início dos movimentos de rotação. Consideremos o plano cartesiano e o círculo unitário com centro no ponto de cruzamento dos eixos ortogonais. Como vocês sabem, o círculo unitário é o círculo de raio unidade,  medida da abertura do ângulo ao centro. Corresponde ao comprimento do arco de circunferência do círculo unitário, medido em radianos. O perímetro do círculo, ou seja, o comprimento total da circunferência, é

P=2r. Sendo r=1 temos que P/2= . Ou seja, o valor de um radiano é metade do perímetro do círculo. O que acontece se o ponto que percorre o perímetro continuar girando indefinidamente? Atingindo uma rotação completa, isto é, a abertura do ângulo ao centro atingindo 2, inicia-se uma nova rotação, idêntica à primeira e assim sucessivamente. Quer dizer, o movimento circular tem o módulo 2. Este conceito de módulo é fundamental. Define uma classe de números que têm entre si uma relação muito especial. Se tivermos dois números x e y e se m for o módulo, diremos que o módulo divide exatamente a diferença entre os dois números. Voltemos ao relógio. O ponteiro das horas está na posição vertical marcando 12 horas. Comecemos a contar a sua rotação a partir dessa posição, ou seja, a partir das 0 horas. O ponteiro continua girando e no final de 12 horas, está novamente na posição inicial. Isso se repete indefinidamente. Quer dizer, o movimento do ponteiro das horas tem módulo 12. As horas da segunda rotação menos as correspondentes da primeira rotação, têm sempre uma diferença de 12, 1 hora corresponde a 13 horas, 2 a 14, 3 a 15, etc.. A diferença entre os dois números é sempre 12. O resultado da divisão das diferenças pelo módulo é sempre 1, resto 0. Divisão exata. Isto é banal. Mas se considerarmos a diferença entre 15 horas e 1 hora, temos 14, que dividida por 12 tem resto 2. Quer dizer, os dois números 1 e 15 não têm módulo. O interessante, é que se somarmos o resto 2 ao número menor 1, temos 3, que dá módulo com 15. Os matemáticos chamam aos pares de números que têm módulo, de congruentes. Significa que são equivalentes, produzem os mesmos efeitos. Se agora considerarmos o ponteiro dos minutos, o módulo é uma hora, ou seja, 60 minutos. O módulo é 60. Se considerarmos o ponteiro dos segundos, o módulo é um minuto, ou seja, 60 segundos. O módulo é também 60.
Passemos a “águas mais profundas”, digamos assim. Consideremos a função circular do seno. Estamos no plano cartesiano, o círculo unitário centrado no ponto 0 do cruzamento dos dois eixos ortogonais. O ponto gira traçando o círculo no sentido positivo anti-horário. Do mesmo modo, completando uma volta, repetem-se os mesmos valores de ângulo ao centro, portanto, os mesmos valores da função seno. Logo a função seno tem módulo 2. Suponhamos que o ponto gire sempre com a mesma velocidade de rotação. É possível então marcar os valores do seno ao longo de um eixo horizontal, pois os eixos ortogonais dividem a circunferência do círculo em quatro partes iguais. Temos portanto a variação do seno no tempo, na extensão do seu módulo  Aliás esse diagrama do seno já foi apresentado em trabalho anterior. Reparem na curva senoidal. Ela oscila entre dois limites, representados por duas linhas retas horizontais que cortam o eixo vertical cartesiano nos pontos +1 e  –1. Os matemáticos dizem que o espaço do plano cartesiano, entre as duas linhas retas limites, representa a faixa de domínio da função seno. Vejamos agora a aplicação desses conceitos aos fenômenos das vibrações da física. As vibrações são caracterizadas por dois parâmetros, a amplitude e a freqüência. Levem em conta que o diagrama da curva senoidal é conseqüência do movimento do ponto no perímetro do círculo unitário. A amplitude decorre do comprimento que foi dado ao raio unitário e a freqüência é o número de ciclos que o ponto gira no tempo. A curva senoidal dada é a básica, isto é, com um valor constante de raio unitário e um movimento circular do ponto uniforme. Quer dizer, para  amplitude e freqüência sempre as mesmas. No entanto, na física das vibrações ocorre uma grande diversidade de situações. Podem ser de amplitude constante e  freqüência variável, ou seja, os limites das oscilações são sempre os mesmos, mas o número de oscilações por unidade de tempo, varia. Por exemplo, as de baixa freqüência para telecomunicações compreendidas entre 30kHz e 300kHz (Hertz – Hz – oscilações por segundo), ou as freqüências radioelétricas das ondas eletromagnéticas irradiadas, inferiores a 3.000GHz. Pode ser o inverso, as amplitudes variam, mas as freqüências mantêm-se constantes ou então variações modulares de freqüência ou de amplitude ou dos dois parâmetros combinados. O campo das oscilações é realmente vasto e diversificado.           
Para encerrar o meu trabalho vou contar um episódio de Galileu, (1564-1642), astrônomo, físico e escritor italiano, relacionado com as oscilações. Um dia Galileu viu-se ameaçado por uma tempestade e correu a refugiar-se na catedral de Pisa. As portas da nave principal estavam abertas e o vento fazia oscilar os diversos lampadários pendurados do teto. Galileu reparou que todos oscilavam com a mesma freqüência, apesar dos pendurais terem comprimentos diferentes. O tempo de oscilação era o mesmo para todos eles. Com isso Galileu descobriu as leis do pêndulo, que permite usar relógios de pêndulos de comprimentos diferentes para marcar o mesmo avanço no tempo.

Fico por aqui. Até à próxima.