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Historicamente a matemática sempre progrediu em “saltos”, que ocorrem quando um matemático consegue reunir as premissas que possibilitam dar uma súbita expansão no conhecimento matemático. Vejamos um exemplo. Giuseppe Peano, (1858-1932), matemático e lógico italiano, publicou em 1899 um trabalho onde definiu de uma maneira axiomática, isto é, sem demonstrar, a natureza dos números naturais aos quais incluiu o zero que não é um número natural. As premissas ou postulados foram os seguintes: 1) O zero é um número; 2) Todo o número natural e o zero têm um sucessor imediato n+1; 3) O zero não é o sucessor de nenhum número natural; 4) Nenhum par de números naturais tem o mesmo sucessor imediato; 5) Uma propriedade que pertença ao zero e também ao sucessor imediato de qualquer número natural pertence a todos os números naturais. Esta condição é chamada de axioma da indução. Mas no final do século 19, matemáticos e filósofos como Frege, Dedekind, Russell e Hilbert ampliaram os fundamentos do conhecimento matemático. No entanto foi sem dúvida Georg Cantor, (1845-1918), matemático alemão,  quem mais contribuiu para que a abrangência dos fundamentos fosse total, com a sua teoria dos conjuntos e as teorias dos infinitos matemáticos e dos números transfinitos. Vejamos como. Um conjunto é uma coleção ordenada, isto é, apresentando uma certa ordem, de “coisas” da mesma natureza. As “coisas” são chamadas de elementos do conjunto. Se aos elementos de dois conjuntos for possível fazê-los corresponder um-a-um e se essa correspondência for biunívoca, isto é, se ao elemento A de um conjunto corresponder o elemento B do outro conjunto e vice-versa, então podemos dizer que os dois conjuntos têm as mesmas propriedades sendo portanto equivalentes. Os números naturais são um exemplo de um conjunto como definiu Cantor. Além disso os números naturais formam um conjunto fechado, isto é, um conjunto que por mais que se prolonguem os seus elementos não é possível sair-se dele. Temos portanto um infinito matemático, parâmetro inatingível pois a distância de qualquer número do conjunto a esse infinito é sempre a mesma, ou seja, infinita. Mas como vimos pela condição 2) de Peano qualquer que seja o número natural escolhido ele tem um sucessor imediato n+1. Esta lei se repete indefinidamente de forma inalterada pelo que Peano a classifica como sendo o axioma da indução. Se o axioma for verdadeiro então a lei será sempre verdadeira. É a demonstração por indução. Existe um outro método de se obter uma demonstração que é por dedução que é o inverso da anterior. Pela indução o axioma é a premissa maior e o conjunto se expande ao passo que pela dedução o axioma é a premissa menor e o conjunto se concentra até atingir a forma de teorema. Cantor definiu o número transfinito como sendo o número cardinal que representa um conjunto infinito. Dois conjuntos infinitos que tenham o mesmo número cardinal têm uma correspondência um-a-um entre os seus elementos. Por exemplo o conjunto dos números naturais mais o zero e o conjunto dos números naturais pares incluindo também o zero: 0 para 0; 1 para 2; 2 para 4; 3 para 6; 4 para 8; etc., etc., … indefinidamente. Com esta correspondência chegamos à conclusão que uma parte do todo pode ser igual ao todo o que seria contra o bom senso. Mas não devemos esquecer que estamos lidando com infinitos. Mas Cantor fez ainda uma outra descoberta. Considerando então que todo e qualquer conjunto numérico infinito quando interrompe o seu avanço, é representado por um número cardinal, podemos admitir que esses números cardinais formam também um conjunto ordenado de números cardinais cujos elementos  Cantor chamou de “aleph”, a primeira letra do alfabeto hebreu. Temos portanto a seguinte sequência: aleph zero; aleph 1; aleph 2; aleph 3 etc., etc., indefindamente. E assim  Cantor quantificou os infinitos com o seu conjunto de aleph’s, levando-nos ao limite máximo absoluto do infinito dos infinitos.

Fico por aqui. Até à próxima.