Fundamentos By Henrique Cruz / Share 0 Tweet No trabalho anterior disse que a álgebra consistia não só na generalização da aritmética, mas também na abertura da evolução da matemática, seus conceitos básicos de construção e de denotação. Parecia assim que a álgebra e a sua resultante imediata, a correspondente geometria analítica, abrangeriam toda a matemática, não sendo necessário criar nenhum novo ramo para absorver outras possibilidades. Puro engano. Vejamos por quê. O objetivo da álgebra é basicamente o estudo das funções contínuas cujo significado mais elementar é o de representar figuras geométricas no campo cartesiano. Uma função y=f(x) representa uma função contínua quando a uma pequena variação de “x” corresponde uma variação também pequena para “y”. Se o que está sendo estudado for o movimento de um objeto, então “x” é a variável independente representando o tempo decorrido e “y” a variável dependente representando a extensão percorrida. Mas na segunda metade do século 17, Newton e Leibniz, independentemente um do outro, criaram os conceitos básicos do cálculo diferencial e do cálculo integral, cujo objetivo era o de estudar as funções contínuas em si mesmo, representando apenas segmentos de linhas curvas no plano cartesiano sem qualquer vínculo com as figuras geométricas. A partir daí os matemáticos desenvolveram um vasto campo de conhecimento de inúmeras aplicações na vida prática. Com isso foi possível relacionar os problemas da mecânica com os da geometria obtendo-se soluções inovadoras. Basicamente o cálculo diferencial é um método onde se obtém a velocidade de um movimento conhecendo-se a distância percorrida num dado intervalo de tempo. Se tivermos essa curva no campo cartesiano, então a velocidade em qualquer ponto da curva é representada pelo declive que a reta tangente à curva, faz no ponto escolhido com o eixo horizontal dos “x”. Ou seja, o ângulo que a reta tangente faz com o eixo dos “x” é equivalente à velocidade nesse ponto. Por sua vez o cálculo integral é o método para se obter a distância percorrida num dado intervalo de tempo. Ou seja, o cálculo integral é o inverso, o oposto, do cálculo diferencial e os dois completam-se para podermos interpretar um dado movimento. Vejamos um pouco mais esta questão da associação dos dois tipos de cálculo. Considerem o 1º quadrante do plano cartesiano e tracem com um lápis, sem levantar a sua ponta do papel, um segmento de curva com a parte côncava voltada para o eixo horizontal do “x”, conforme desenhado na Fig. 1. A curva representa uma função contínua. Imagine agora que o ponto da curva se desloca de um extremo ao outro do segmento de curva acompanhada pela sua reta tangente. Verificamos que à medida que o ponto se desloca em movimento contínuo, a reta tangente roda em movimento também contínuo. Quer dizer a cada ponto da curva corresponde uma posição da reta tangente.na sua rotação. Ou seja, corresponde no ponto a um determinado valor para a velocidade do movimento. Estamos portanto, lidando com uma aplicação do cálculo diferencial. Vejamos o cálculo integral. Acompanhem pela Fig.2. Escolham dois pontos da curva bem próximos um do outro. Tracem duas verticais passando pelos dois pontos e considerem que a distância obtida entre as duas verticais no eixo dos “x” é “Δx”. Liguem os dois pontos da curva escolhidos por um segmento de reta. Trata-se de uma secante à curva nesse intervalo. Portanto a um intervalo “Δx” corresponde um intervalo “Δy”. Se “Δx” tender para zero a secante tende para a tangente. No limite quando “Δx” for igual a zero os dois pontos da curva ficam reduzidos a um só; a distância desse ponto ao eixo dos “x” medido na linha vertical representa o espaço percorrido, Se repetirmos o mesmo raciocínio para todos os pontos da curva entre os seus extremos obtemos uma área limitada pelas duas linhas verticais dos pontos extremos, o segmento do eixo dos “x” entre as mesmas verticais extremas e a curva considerada, conforme mostra a Fig. 3. Essa área representa a distância total percorrida pelo movimento considerado num dado intervalo de tempo. Ou seja, estamos lidando com o cálculo integral. Além destes conceitos básicos do cálculo diferencial e integral poderíamos ainda discorrer sobre o conceito de derivada mas o trabalho ficaria por demais extenso. Fico por aqui. Até à próxima.
