Fundamentos By Henrique Cruz / Share 0 Tweet A álgebra representa a generalização da aritmética, o passo seguinte da evolução da matemática. No último trabalho disse que René Descartes (1596-1650) criou o plano cartesiano, em que a idéia fundamental foi a de substituir os pontos geométricos por números. Pois bem, a idéia fundamental da álgebra consistiu em substituir os números por letras. Além disso, a álgebra também abriu caminho para a formação da linguagem matemática. Vejamos como. Comecemos pelo termo “equação”. Equação significa que duas expressões numéricas têm o mesmo valor, isto é, estão interligadas pelo sinal igual “=”. As duas expressões são dotadas das quatro operações somar, subtrair, multiplicar e dividir, onde as primeiras letras do alfabeto “a”, “b”, “c” … representam números constantes de valores conhecidos e as últimas letras do alfabeto “x”, “y” … números de valores desconhecidos, Mas para que a igualdade contendo valores desconhecidos seja válida é preciso demonstrar que existe um valor numérico que iguale os dois membros da equação. Por exemplo consideremos a equação: 5–x2=3x–(2x+1). Será que existe um valor numérico que iguale as duas expressões? Primeiro eliminemos o parentese curvo e com isso temos portanto 5–x2=3x–2x– 1, ou seja, 5–x2=x–1. Se fizermos x=2 temos 5–4=2–1. ou 1=1.. Quer dizer o número 2 é a “solução” da equação dada, a sua “raiz”, já que iguala os dois membros da equação dando validade ao sinal “=”. A solução da equação transformou a igualdade em uma identidade. As parcelas das expressões algébricas são chamadas de “termos”. Como dissemos no início, a álgebra baseia-se na substituição dos números por letras. Assim sendo as letras têm de ser convencionalmente diferentes conforme os seus significados. Consideremos o caso mais simples, somente os números racionais. Um número racional é o quociente de dois números inteiros, de divisor não nulo. Uma função algébrica racional completa corresponde a uma soma de parcelas de todas as potências da variável “x” desde o expoente de grau 0 até o expoente de grau “n”em números inteiros positivos. Essa sequência de parcelas apresenta a variável “x” , que é a “incógnita”, munida de fatores numéricos chamados “coeficientes”.. O termo que não tem variável é chamado de “termo constante”. O exemplo acima pode servir para apresentarmos o teorema fundamental da álgebra que diz: “toda a função racional completa pode ser expressa pelo produto de tantos fatores do 1º grau quantos os que a função racional apresenta”. No nosso caso por se tratar de uma função racional do 2º grau temos dois fatores (5–x2).(x–1). Substituindo “x” por 2 temos 1.1=1, que é uma identidade, ou seja, o que o teorema fundamental da álgebra determina. Um exemplo bastante elucidativo de equação algébrica é a função racional contínua do 2º grau, em que y=f (x2), da figura geométrica da parábola no plano cartesiano: y=ax2+bx+c. Esta equação representa uma curva parabólica em que os seus dois ramos são simétricos em relação ao eixo dos yy’s Para cada valor do eixo dos yy’s corresponde dois valores iguais e de sinais contrários do eixo dos xx’s. Por isso a fórmula que nos dá as raízes da equação apresenta uma raíz quadrada munida dos sinais + e –1. De fato esses dois valores iguais e de sinais contrários resultam da regra dos sinais. Assim vejamos. Raíz quadrada de 4, ou seja, 22, é 2. Certo? Não, errado. A raíz quadrada de 4 tem dois valores iguais e de sinais contrarios +2 e –2 pois pela regra dos sinais mais por mais dá mais, mas menos por menos também dá mais. Daí os dois valores simétricos do exemplo. Na minha exposição acima só considerei os números racionais. Evidentemente a álgebra também engloba os números reais e os números complexos. Também só tratei de equações do segundo grau, enquanto que a álgebra trata de equações contínuas de qualquer grau. Mas para apresentar essas matérias teria que começar pelas “séries aritméticas” o que tornaria este trabalho extenso demais. Fica para outra oportunidade. Fico por aqui. Até à próxima.
