Fundamentos By Henrique Cruz / Share 0 Tweet Equação é uma igualdade de expressões matemáticas, contendo, pelo menos, uma incógnita. A sua denotação deve, portanto, apresentar o sinal igual, =, para ser considerada uma equação. O sinal igual separa a expressão em duas partes, denominadas membros da equação. Convencionalmente chama-se de 1º membro, o da esquerda e de 2º membro, o da direita.Uma equação pode ter uma, duas, três, … “n” incógnitas. É claro que uma igualdade numérica não é uma equação, mas sendo uma igualdade, apresenta propriedades que valem para as equações. Vejamos uma semelhança no sentido figurado. Uma balança de farmácia antiga de pratos. A balança fica em equilíbrio quando os dois pratos têm o mesmo peso. Nesta condição, é possível adicionar ou retirar o mesmo peso de ambos os pratos sem que o equilíbrio seja afetado. Pois bem, suponhamos uma subtração, por exemplo 7 – 4 = 3. Se adicionarmos +4 a ambos os lados da igualdade temos, 7–4+4 =3+4. Como –4+4 é igual a 0, temos o resultado 7=3+4. Acontece o mesmo se em vez de uma subtração fôr uma soma. Temos, portanto, uma regra importante: quando um termo da igualdade muda de lado, tem de mudar de sinal. Com a equação é a mesma coisa. Apesar de existirem as incógnitas a regra não muda. De fato, para uma equação, qualquer que seja a sua forma, o que condiciona as suas raízes, ou seja, os valores das incógnitas que lhe dão validade, são os números coeficientes dos seus termos. Lidamos com números, logo a regra é a mesma: mudou de membro, muda de sinal. Se for uma soma passa a subtrair, se for uma multiplicação passa a dividir e vice-versa. Consideremos agora o plano de coordenadas cartesianas. Qualquer ponto do plano é definido por duas coordenadas: a abscissa “x” no eixo horizontal e a ordenada “y” no eixo vertical. Esta configuração é convencional, pois os dois eixos são idênticos nas suas escalas numéricas. Na geometria analítica, a equação mais simples é a da linha reta, ax+by=c, onde “a”, “b” e “c” são números inteiros. Resolver a equação é determinar as coordenadas dos pontos que pertencem à linha reta que lhe corresponde. Façamos um exercício. Peguem uma folha de papel quadriculado e tracem duas das suas linhas, uma horizontal e outra vertical. Temos assim um plano cartesiano de coordenadas, onde os pontos de cruzamento das linhas são representados pelas seqüências dos números inteiros, a partir do (0,0) ponto de origem no cruzamento dos eixos marcados. A convenção é que, a partir do ponto 0, são positivas as abscissas para a direita e as ordenadas para cima, negativas no sentido oposto. Consideremos o caso mais simples: a linha reta passa pelo ponto de origem. É evidente que qualquer que seja a linha reta escolhida, a sua inclinação em relação aos eixos ortogonais cartesianos é uma constante, sempre a mesma. Portanto a relação entre os valores das abscissas e das ordenadas é constante para qualquer ponto da linha reta. Suponhamos uma linha reta passando pelo ponto (0,0) inclinada a 45 graus em relação aos eixos cartesianos. A relação entre as abscissas e as ordenadas é sempre igual a 1 pois os seus valores, em números inteiros, são sempre iguais. Podemos dizer que “a” está para “b’ assim como “x” está para “y” e que esta relação é igual a 0. Desta “regra de três” temos pela multiplicação cruzada a.x=b.y. Ou seja, para “a.x” ser sempre igual a “b.y” é preciso que “a” seja igual a “b”. Temos assim a equação da linha reta escolhida. Vejamos agora: a linha reta continua passando pelo ponto (0,0), mas a sua inclinação é menor que a anterior. Ela passa no ponto (2,1) logo após o ponto (0,0). Temos deste modo: 2 está para 1 assim como “x” está para “y”. A equação da linha reta é x=2y. Para x=0 e y=0 temos 0=0 e para x=2 e y=1 temos 2=2. São as duas raízes iniciais que definem a linha reta escolhida. Vejamos agora uma linha reta que não passe pelo ponto (0,0). A primeira coisa a fazer, é definir a linha reta indicando os seus dois pontos iniciais. Por exemplo, um ponto é x=–1 e y=–1 e o outro ponto é x=3 e y=2. Vejam pelo desenho. A inclinação da linha reta é dada pela relação entre os valores, medidos na abscissa e na ordenada, necessários para se passar de um ponto para o outro. Esses valores são 4 e 3 e a sua relação é 1. Pela “regra de três” temos 4 está para 3 assim como “x” está para “y”. A multiplicação cruzada dá 3x–4y=1 que é a equação da linha reta dada. Substituindo “x” e “y” pelas coordenadas do primeiro e segundo pontos, temos, –3+4=1 e 9–8=1. Ou seja, os pontos dados são raízes da equação. Vocês devem ter reparado que em todos os casos sempre disse que os pontos escolhidos eram os iniciais. Por quê esta precaução? Porque os pontos por serem iniciais, são os menores possíveis, isto é, a equação que os representa está reduzida à sua expressão mais simples. As coordenadas de quaisquer outros pontos da mesma linha reta, são obtidas acrescentando, para cada ponto, pares de valores iguais às diferenças das coordenadas dos pontos iniciais. Para os utilizar na obtenção da equação, teríamos que aplicar o algoritmo de Euclides para calcular o máximo divisor comum dos valores “a” e “b”. Reduzidos à expressão mais simples, “a” e “b” são primos entre si e a divisão de “a” por “b” tem como resto, ou seja, para “c”, o valor 1. De fato, na equação dada 3x –4y=1, 3 e 4 são números primos entre si. Logo os valores que foram acima considerados, (–1,–1) e (3,2), são as coordenadas de pontos iniciais da linha reta representada pela equação dada. Para se obter o ponto seguinte, temos que adicionar às coordenadas dos pontos iniciais, a x=3, a diferença das abscissas, ou seja 1+3=4 e a y=2, a diferença das ordenadas 2+3=5. Temos portanto a raiz x=7 e y=5 que dá, substituindo na equação, 3×7– 4×5=21– 20=1, o que comprova a regra dada. Fico por aqui. Até a próxima.
