Fundamentos By Henrique Cruz / Share 0 Tweet O conceito de espaço é fundamental para a compreensão da matemática. Tudo começou há cerca de 2.300 anos com as proposições elementares de Euclides no seu tratado “Elementos”, onde expôs a geometria que leva o seu nome e que permitiu a formação da idéia de espaço. O plano euclidiano não é exatamente um espaço, no conceito atual do termo. No entanto, Euclides teve o grande mérito de criar uma estrutura sistêmica dedutiva para a sua teoria, estrutura essa que serviu, durante séculos, de modelo para todas as considerações espaciais. O plano euclidiano é apenas uma superfície plana onde se pode representar figuras geométricas. Não tem dimensões e as figuras são desenhadas em posições aleatórias. Assim por exemplo, se desenharmos dois triângulos separados, eles podem ser deslocados em translações e rotações, juntando-se ou sobrepondo-se, de modo a formar uma única figura. As figuras geométricas são rígidas, indeformáveis. Suponhamos um triângulo escaleno, isto é, um triângulo de lados desiguais. Faça o seguinte exercício. Recorte, em cartolina, dois triângulos escalenos iguais e marque os seus vértices coincidentes com os números 1, 2 e 3 em seqüência rotacional. Quaisquer que sejam as posições dessas figuras numa folha de papel sem pauta, é sempre possível fazê-las sobrepor exatamente. Agora inverta um dos triângulos, ou seja, “vire-o do avesso”. Veja que não é mais possível fazer coincidir as duas figuras. O sentido de rotação da seqüência dos vértices numerados não coincide. Se o sentido no triângulo não invertido for anti-horário, o sentido no invertido é horário ou vice-versa. Quer dizer, o plano euclidiano só tem uma “face”, não tem “avesso” por não se tratar realmente de um espaço. Passemos agora a um verdadeiro espaço: a superfície esférica. A superfície de uma esfera não é planificável, isto é, não é possível transformá-la em um plano. Sendo assim, a superfície esférica tem uma geometria que é só dela. Um triângulo esférico, por exemplo, é uma figura formada por três arcos de círculo máximo, que unem três pontos de uma superfície esférica. Se os três arcos forem perpendiculares entre si, o triângulo é um trirretângulo, isto é, os seus três ângulos são todos retos. Se um dos ângulos for agudo, o triângulo é um birretângulo, triângulo esférico de dois ângulos retos. Estas especificações são bem diferentes das do triângulo retângulo da geometria euclidiana que só pode ter um ângulo reto. A impossibilidade de planificar a superfície esférica tornou-se um problema para os cartógrafos que tentaram desenhar o “mundo” na época das descobertas. Vocês devem lembrar dos primeiros mapas da costa brasileira desenhados pelos navegadores portugueses. É uma linha vertical representando o litoral, com o lado esquerdo preenchido com todos os acidentes geográficos passíveis de serem reconhecidos pelas expedições posteriores. Não é a representação de um mapa do “mundo”, é apenas a descrição da costa brasileira. Mas em 1569 o cartógrafo flamengo Geradus Mercator, (1512-1594), desenhou um mapa representando a superfície terrestre, fazendo a projeção do globo sobre uma superfície cilíndrica, onde os meridianos e os paralelos são linhas retas interceptando-se em ângulos retos. Com isso ele conseguiu planificar a superfície terrestre. Mas a “Projeção Mercator” distorce a imagem, especialmente em latitudes elevadas, devido ao fato das distâncias entre paralelos crescer cada vez mais à medida que aumentam as suas distâncias ao equador. Imagine uma superfície cilíndrica tangente ao equador da esfera terrestre, tendo portanto o seu eixo coincidente com o eixo da Terra que passa pelos pólos norte e sul. Na projeção cilíndrica os meridianos são representados por retas verticais eqüidistantes, e os paralelos por linhas retas horizontais em intervalos cada vez maiores. Quanto mais distantes do equador estiverem os paralelos, mais exageradas são as distâncias entre eles o que limita a utilização prática do mapa a latitudes inferiores a 60º. Lembrem que na esfera terrestre, meridiano é qualquer círculo máximo que passa pelos pólos e paralelo é qualquer circulo paralelo ao equador. Da conjugação dos meridianos com os paralelos decorre, num sistema de coordenadas cilíndricas ou esféricas, respectivamente, a longitude e a latitude de um ponto da superfície. Um fato veio a favor da Projeção Mercator. Se os navegadores ou aviadores traçarem as suas rotas rumo ao sul guiados pela constelação do Cruzeiro do Sul ou rumo ao norte pela Estrela Polar da constelação Ursa Menor, não atingirão nem o Pólo Sul nem o Pólo Norte. Estas estrelas representam pontos fixos no céu devido às suas enormes distâncias da Terra. Na realidade a linha que os navios e os aviões traçam na superfície terrestre é uma espiral, que corta os meridianos em um ângulo constante. É a chamada “loxodrômica”, palavra que vem do grego significando “carreira oblíqua”, que na Projeção Mercator é representada por uma linha reta. Esses rumos em linha reta que os navios e aviões traçam no mapa Mercator, têm um significado real ampliando a sua utilização. Vejamos agora um espaço bem diferente, não apenas estático, de suporte a algo nele colocado, mas ativo em si mesmo, ou seja, um campo de forças atuantes. Durante anos no seu observatório o astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, (1546-1642), anotou diariamente as posições de cinco planetas Mercúrio, Venus, Marte, Júpiter e Saturno. As posições desses planetas eram obtidas em relação a estrelas longínquas consideradas como pontos fixos. Esses dados constituíram um acervo fabuloso que permitiu ao matemático polonês Johannes Kepler, (1571-1630), de formular as três leis do movimento dos planetas: 1ª Lei os planetas movem-se em órbitas elípticas onde o Sol ocupa um dos focos; 2ª Lei em cada órbita o segmento de reta que une o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais; 3ª Lei os quadrados dos períodos das órbitas dos planetas são proporcionais aos cubos dos semi-eixos maiores das respectivas elipses. Estas leis tiveram uma formulação matemática apresentada pelo físico inglês Isaac Newton, (1642-1727), a sua muito conhecida lei da gravitação: os corpos celestes atraem-se mutuamente na razão direta das suas massas e na razão inversa do quadrado das suas distâncias. Conta a lenda e talvez seja verdade, que Newton sentado à sombra de uma macieira viu uma maça cair verticalmente no solo. Por que é que caiu na vertical e não obliquamente ou mesmo para cima, pensou Newton. E assim nasceu a sua teoria em que uma simples fórmula descreve o movimento dos planetas em torno do Sol. Os campos gravitacionais abrangem o universo e um corpo rígido situado em qualquer ponto do campo está sujeito às forças da gravitação. É um espaço ativo a que todos os corpos rígidos se submetem. Chega por hoje, Até à proxima.
