Fundamentos By Henrique Cruz / Share 0 Tweet Apesar do trágico destino e da vida tão curta, o francês Évariste Galois, morto aos 20 anos vítima de um duelo, merece um lugar de destaque entre os grandes da matemática. Espírito irrequieto e aluno difícil, nasceu em 1811, foi expulso da faculdade e preso por discursar contra o rei. Acredita-se que o duelo foi uma cilada preparada pelo governo para matá-lo. Eram os tempos sombrios da derrota de Napoleão em Waterloo e seu exílio na ilha Santa Helena. O fantasma do Imperador ainda assombrava a França. Galois deixou poucos trabalhos, mas as poucas notas que escreveu na véspera do duelo e que entregou ao seu amigo, foram suficientes para revelar uma nova visão da matemática. À teoria de Galois foi dado o nome de teoria dos grupos e é considerada como o fundamento da matemática moderna. Galois não chegou a desenvolver nenhuma aplicação da sua teoria, deixando apenas anotado os princípios que norteiam as suas leis de formação. Hoje sabe-se a grande diversibilidade da sua aplicação. Por isso a definição de grupo é muito ampla, só podendo ser feita em termos genéricos. Grupo é um conjunto, finito ou infinito, de elementos, que se relacionam entre si por um certo número de propriedades comuns. São estas propriedades que definem a categoria do grupo e a sua abrangência. A idéia básica na formulação de um grupo é a de que relações lógicas entre conceitos, podem ser expressas por fórmulas algébricas. Por exemplo, a disjunção e a conjugação de conceitos podem corresponder, respectivamente, à adição e à multiplicação de números. A adição e a multiplicação têm as mesmas propriedades de fechamento, aplicáveis tanto aos múmeros quanto aos conceitos. Essas propriedades são a associativa, do elemento neutro, do elemento oposto e a comutativa, sendo que a multiplicação tem ainda a distributiva em relação à adição. Assim sendo é sempre possível permutar a adição e a multiplicação, uma pela outra. Permutar em linguagem corrente significa substituir, trocar. Mas em matemática significa mais do que isso, quer dizer a bijeção de um conjunto em si mesmo. Bijeção é a correspondência biunívoca de um conjunto sobre outro. Unívoca diz-se de conceito ou atributo que se aplica a sujeitos diversos de maneira absolutamente idêntica. É biunívoca quando a condição unívoca é dupla, realizando-se nos dois ssentidos, de A para B e de B para A. Uma aplicação consiste numa operação em que se faz corresponder a todo o elemento x de um conjunto A, (conjunto de saída ou domínio), um só elemento y de um conjunto B, (conjunto de chegada ou contra-domínio). Assim, y é a imagem de x ou então x é o antecedente de y. Temos, portanto, as aplicações injetoras onde os elementos de A em relação aos elementos de B, têm uma correspondência um-a-um de equivalência. Mas temos também as aplicações sobrejetoras, igualmente de correspondência um-a-um, onde os elementos de A se projetam sobre os elementos de B, não mais na condição de equivalência. Temos ainda a aplicação bijetora, que é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, de correspondência um-a-um biunívoca. Domínio é a estrutura matemática de definição do conjunto de saída, que tem como sua imagem, o contra-domínio no conjunto de chegada. São estas passagens de um conjunto para outro e vice-versa, unívocas ou biunívocas, que permitem revelar todas as possíbilidades de interpretação dos conjuntos envolvidos. A superposição do conjunto de saída sobre o conjunto de chegada mostra a distribuição geométrica dos seus elementos, tanto os de propriedades equivalentes como os de sem condições de equivalência. Um exemplo de aplicação dos conceitos de grupo é o experimento físico do princípio da tricromia por adição. Suponhamos suspensos de um teto três projetores monocromaticos verde, vermelho e azul, iluminando o piso com os seus fluxos luminosos. A superposição parcial das elípses coloridas do piso produz a fusão das cores monocromáticas nas cores magenta, amarelo e branco , além da verde, vermelho e azul. A divisão dos cojuntos coloridos em subconjuntos de cores complementares obtidas por adição, obedece aos conceitos da teoria dos grupos. Aos domínios dos conjuntos de saída contrapõem-se os contra-domínios dos subconjuntos de chegada., produzindo a gama completa das cores. Fico por aqui. Até à próxima.
