Fundamentos By Henrique Cruz / Share 0 Tweet A matemática começa pelos números. Sem eles nada feito. Os números expandiram-se nas suas diversas categorias à medida que o nosso conhecimento exigia outras aplicações para além dos números naturais, que são os mais simples de todos. Os números naturais são números inteiros representativos por sí mesmo, próprios para contar quantos elementos formam um conjunto de “coisas”. Daí o seu nome, “naturais” que não é uma designação apropriada. De fato nada na matemática pode ser considerada “natural”, pois tudo é produto da mente humana, o que é algo extraordinário. A matemática é uma ciência exata que se constrói voltada para si mesmo. No entanto com a sua contribuição, somos capazes de interpretar o mundo em que vivemos. Mas voltemos aos números naturais. Começam com o número 1 e a sua sequência obtém-se adicionando o número 1 ao número anterior, ou seja, 1, 2, 3, …, n, n+1, …. Os números naturais crescem, indefinidamente, isto é, tendem para o infinito. Podiamos até dizer que neste caso têm um infinito “natural”. Sendo este infinito inatingível como podemos afirmar que ele existe? Raciocínando por indução: 1+1 dá 2, 2+1 dá 3, 3+1 dá 4 e assim por diante. Este processo que se repete sempre da mesma maneira, faz “induzir” que a substituição do número 1 pelo número 2, o número 2 pelo número 3 e assim por diante nada altera em relação ao infinito, o que o torna inevitável. Temos aqui portanto a primeira infinidade. Vejamos agora a primeira insuficiência. Os números naturais crescem somando-se uns aos outros e a soma é a sua operação aritmética fundamental. A operação inversa da soma, a subtração, pode ser realizada mas somente se o diminuidor for menor que o diminuendo. Caso contrário a subtração não existe, pois os números negativos não podem ser considerados por estarmos restritos aos números naturais. Temos portanto a primeira insuficiência. Para eliminá-la temos que introduzir o zero que constitui o início da contagem dos números tanto positivos quanto dos negativos. O zero não é um número natural e a sua incorporação expande a categoria dos números naturais transformando-a na categoria dos números inteiros positivos e negativos. Ou seja passamos para a seguinte sequência: … –1–n, – n, …, –3, –2, –1,,0, +1, +2, +3, …, n, n+1, …. Os números positivos e negativos crescem indefinidamente. Temos portanto dois infinitos, um em cada extremo do que podemos considerar como um eixo numérico. Claro que não existe um infinito positivo e outro negativo. O infinito não tem sinal, é simplesmente infinito nada mais. Mas os números inteiros podem ainda ser insuficientes. Consideremos as operações aritméticas da multiplicação e da divisão. Para a multiplicação muito bem, os números inteiros não apresentam qualquer restrição mas para a divisão já não é assim. As restrições estão sempre nas operações inversas. As operações diretas da soma e da multiplicação são realizadas em conjuntos fechados. Quer dizer, somar e multiplicar numeros inteiros dão sempre resultados em número inteiros. Não há como sair deles. Mas com as operações inversas não é assim. Já vimos que com a subtração temos que introduzir os números negativos, Agora com a divisão temos de passar dos números inteiros para os números racionais. O número racional é o que pode ser expresso pelo quociente de dois números inteiros, dos quais o divisor não é nulo. É a divisão mais simples de todas. Para outros resultados da divisão os números racionais são insuficientes. Temos de passar para os números irracionais que, por sua vez, fazem parte dos números reais. Estes são os que correspondem à máxima expansão numérica cobrindo toda as suas insuficiências. Os números reais têm a propriedade fundamental de existir, entre dois números reais, por mais próximos que estejam, sempre um terceiro número real. Os matmáticos chamam a essa propriedade a “hipotese do continuum”. Significa que no eixo numérico não existem mais “vazios” a serem preenchidos. Assim sendo os números reais são “incontáveis”, isto é, existe um número infinito de números reais, não considerando os números racionais. Um exemplo importante deste caso é o da raiz quadrada de 2. A raiz quadrada de 2 expressa o comprimento da diagonal de um quadrado medido pelo comprimento do seu lado. Essa relação representada pelo teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo isósceles diz que a soma de catetos iguais ao quadrado é igual ao quadrado da hipotenusa: 2c2=h2..Ou seja retirando os quadrados e passando o “c” para o segundo membro da equação, temos que a raiz quadrada de 2 é um número decimal infinito. Euclides provou que esse número não podia ser par nem ímpar, e que se tratava de um número “especial” infinito pois se não era nem par nem ímpar teria que ser infinito. Esta conclusão levou os pitagóricos a uma “crise” por destruir a tese que “tudo são números”. Como era possível que uma figura geométrica tão simples e regular como um quadrado apresentar semelhante discordância? De fato sabemos hoje que a raiz quadrada de 2 em representação decimal é igual ao número infnito 1,41421356237309504… . E pensar que essa propriedade foi descoberta no século IV a. C. Para finalizar convém esclarecer que nesta exposição ficaram de fora os números complexos. Trata-se de outra questão a ser considerada. Fica aguardando uma nova oportunidade. Fico por aqui. Até à próxima.
