Fundamentos By Henrique Cruz / Share 0 Tweet Cêrca de 330 a 275 anos a. C. Euclides de Alexandria abordou pela primeira vez o conceito de limite ao procurar definir as grandezas circulares, ou seja, a circunferência e a área de um círculo em relação à figura geométrica do quadrado inscrito nesse círculo. A capacidade intelectual de Euclides foi extraordinária por discernir que a passagem da figura geométrica do quadrado inscrito, para a figura geométrica do círculo que o circunscreve, só se podia fazer mediante uma profunda alteração nas grandezas envolvidas. De fato se duplicarmos sucessivamente o número de lados do quadrado, mantendo sempre os polígonos inscritos no círculo, passamos de 4 para 8, 8 para 16, 32, 64, 128, 256, … lados indefinidamente. Os polígonos só passarâo a ser o círculo quando os seus lados se anularem, isto é, os polígonos desaparecerão no círculo que assim é o seu limite. E isso acontece tanto em relação ao perímetro dos polígonos que passa a ser a circunferência do círculo, como também quanto à área dos poligonos que passa a ser o área do círculo. Isso acontece devido ao fato das grandezas circulares dependerem de uma grandeza numérica transcendente infinita, representada pelo símbolo da letra grega (pi). Esta letra representa no círculo a relação entre os comprimentos da circunferência e do diâmetro e o seu valor na representação decimal atual é 3,141592653589793238 … . Em outras palavras. Como vocês sabem o círculo é o lugar geométrico de todos os pontos do plano euclidiano equidistantes de um ponto fixo chamado centro. O número de pontos da circunferência do círculo é infinito pois os seus pontos são adimensionais, isto é, sem dimensão. No entanto os pontos vértices dos poligonos inscritos no círculo são distintos, “individulizados”. Só perdem essa característica quando os polígonos desaparecerem no círculo que os circumscreve. Vejamos agora uma outra relação que, na mesma época, causou também grande impacto nos pitagóricos por destruir o seu slogan “tudo são números”. Novamente Euclides demonstrou de uma maneira irrefutável que num triângulo retângulo com catetos do mesmo comprimento, o comprimento da diagonal do quadrado medido pelo comprimento do cateto dava a raíz quadrada de 2 que era um número infinito. Trata-se da aplicação pura e simples do triângulo de Pitágoras 12+12=D2 do que resulta D2=2 ou seja D é igual à raíz quadrada de 2. Euclides demostrou que o número 2 é o único número par que é primo, visto que qualquer número ímpar multiplicado por 2 torna-se par. Portanto o número 2 é o único par que só é divisível por si mesmo e pelo número 1, isto é, é o único par primo. Mas se a raíz quadrada de 2, argumentou Euclides, não pode ser nem um número par nem um número ímpar, como não existe nenhum terceiro número, então a raíz quadrada de 2 só pode ser um número infinito. De fato no sistema decimal atual a raíz quadrada de 2 é representada pelo número 1,41421356237309504 … . Pode-se assim concluir dos casos anteriores, que o conceito elementar de limite é o de uma grandeza numérica intransponível numa sequência infinita de valores. Sequência é um encadeamento de valores que crescem indefinidamente de tal modo que em se conhecendo dois desses valores consecutivos pode-se obter todos os valores da sequência. Na sequência os valores estão isolados sem que exista qualquer operação aritmética entre eles. Se os termos da sequência tiverem entre si um tipo de operação aritmética então a sequência passa a se chamar uma série. Limite portanto é um valor final intransponível para uma série infinita. Vejamos um exmplo. O sistema de números reais é um conjunto ordenado de valores numéricos que tem a propriedade de entre quaisquer dois deles, por mais próximos que estejam, existir sempre um terceiro. Sendo assim os números reais são “incontáveis”. Os matemáticos chamaram a esta propriedade a ´hipótese do continuum”, isto é, um cojunto de elementos sem “falhas” ou descontinuidades de qualquer ordem Consideremos agora as expressões numéricas denominadas logarítmos que são representações de séries que pdem ser convergentes ou não. Ou seja, de somas de um número infinito de parcelas de potências da mesma base e cujos expoentes são a sequência infinita dos números inteiros positivos. Um logaritmo por definição é o expoente a que temos que elevar a base para reproduzir o número. Assim um exemplo de logaritmo elementar é o das potêcias de base 10, ou seja, 10o=1, 101=10, 102=100, 103=1000 e assim indefinidamente, de o número 1 seguido de tantos zeros quantos o seu expoente. Os númertos 10,1000, 10.000, etc, etc. crescem exponencialmente mas sem que exista nenhum continuum numérico. Este logaritmo portanto é cada vez mais divergente. Trata-se de um logaritmo comum que não interessa para o nosso caso. Agora vejamos um exemplo de logaritmo natural, isto é, uma função logarítmica completa, ou seja, constituida por todos os seus termos cujos expoentes correspondem um-a-um com os números naturais 0, 1, 2, 3, 4, 5, indefinidamente. Na sua representação com números reais este logaritmo é absolutamente convergente. A sua base é representada pelo símbolo “e” e o seu valor pode ser obtido pela seguinte expressão 1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+ … onde 2! (dois fatorial) é 1×2, 3! é 1x2x3, 4! é 1x2x3x4 e assim sucessivamente. O resultado final destas operações aritméticas é e=2,7182818459 … que é a base dos logaritmos naturais. Para cada soma parcial finita da expressão acima corresponde um limite do logaritmo. Fico por aqui. Até à próxima.
