Os radicais

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Radical é a potência fracionária de um número ou de uma expressão aritmética. Potência fracionária é a potência cujo expoente é um número fracionário e número fracionário é o número inverso de um número inteiro. Se 2 for o número inteiro, o número fracionário correspondente é um meio, 1/2, e assim sucessivamente: para 3 um terço; para 4 um quarto, para 5 um quinto, etc.. Portanto, o número fracionário é um número na forma de uma fração, onde o numerador é sempre o número 1 e o denominador o número do qual ele é o inverso. Suponhamos o número “a”. Multiplicado por si mesmo dá uma potência: “a” vezes “a” é igual a “a” ao quadrado. Façamos o mesmo com a potência de “a” de expoente 1/2: “a” elevado a 1/2, vezes “a” elevado a 1/2. Para se multiplicar por si mesmo, temos de somar os expoentes. Como 1/2  somado com 1/2 dá 1, temos que “a” elevado a 1/2,  vezes “a” elevado a 1/2 dá “a”. Quer dizer, na forma direta, fomos de “a” para “a” ao quadrado,  agora, na forma inversa, “a” elevado ao inverso de 2, (1/2), volta a ser “a” de novo. O mesmo acontece multiplicando três vezes, “a”x”a”x”a” dá “a” ao cubo e “a” elevado a um terço, três vezes, dá 1/3 mais 1/3 mais 1/3, que é também igual a 1. É sempre assim, qualquer que seja o número inteiro que se adote. Conclusão: se tivermos a potência de um número, cujo expoente seja um número inteiro, o seu expoente fracionário representa o radical do número base. Se “a” é ao quadrado, “a” elevado a 1/2 é a raiz quadrada de “a”. E assim por diante, se “a” é ao cubo, “a” elevado a 1/3 é a raiz cúbica de “a”; se “a” é elevado à quarta, “a” elevado a 1/4 é a raiz quarta de “a”, etc. Estas raízes representam os radicais do número base “a”. Quer dizer, através dos radicais deveria ser possível obter todas as raízes de um número “n” elevado a “n”, qualquer que fosse o número “n”.
Vejamos como tudo começou. Os historiadores dizem que no segundo milênio antes de Cristo, os babilônios eram capazes de resolver equações do segundo grau, apesar de lidarem com um sistema de numeração na base 60. Não vou tão longe. No entanto, os Pitagóricos, há 2.500 anos, descobriram o teorema de Pitágoras, isto é, descobriram que a soma de dois números inteiros, ambos ao quadrado, podia ser igual ao quadrado de um outro número inteiro, maior que os dois anteriores. Mas também descobriram que não era fácil encontrar três números inteiros que satisfizessem a relação do teorema, mesmo tendo se obtido um exemplo da solução: 3 ao quadrado mais 4 ao quadrado igual a 5 ao quadrado. Mas os Pitagóricos recorriam sempre à geometria para resolver problemas dessa ordem. Claro, tendo três números pensaram nos três lados de um triângulo e, de fato, descobriram que o triângulo retângulo atendia à exigência do teorema. Mas acima de tudo os Pitagóricos se deram conta de algo muito importante. A verdade matemática não estava dependendo das operações aritméticas da soma e da multiplicação, pois alguns números davam certo e outros não. O fundamental não era isso. O que se tinha de aprofundar, era em que circunstâncias o resultado das operações do primeiro membro, seria igual ao resultado das operações do segundo membro. Ou seja, o importante era encontrar, como dizemos agora, as raízes da equação algébrica característica do teorema de Pitágoras. Portanto, era necessário ter um enfoque algébrico, o que era um avanço no conhecimento matemático. Diofante de Alexandria, (séc.II a.C.), foi o primeiro a ter consciência desta evolução. Procurou desenvolver regras que permitissem obter os valores, em números inteiros, das duas incógnitas de uma equação ax+by=c. Por se tratar de uma equação do 1°grau com duas incógnitas, ela é indeterminada, só podendo se obter os seus valores por “tentativa e erro”. Estes números foram posteriormente chamados de números algébricos. Consideremos agora a nossa conhecida equação algébrica do 2º grau de uma única variável, na forma completa, igual a zero. Já conhecemos a fórmula quadrática que nos dá as suas duas raízes. A resolução das equações do 2º grau por meio dos radicais, levou os matemáticos italianos da Renascença,  cerca de 1500, a tentar resolver as equações do 3º e 4º grau pelos mesmos meios. O problema revelou-se muito mais complicado. Por fim conseguiram resolver, mas mediante processos de redução das expressões, conduzindo-as a composições com as conhecidas equações do 2º grau. As tentativas prosseguiram para a resolução das equações de grau igual ou superior a 5, mas sem sucesso. Em 1770-1771 o matemático francês Lagrange, no seu trabalho “Reflexões sobre a solução das equações algébricas”, advertiu que os processos aplicados pareciam ser exclusivos das equações até o 4º grau e que, para graus superiores, não se sabia como proceder. Finalmente em 1824, o matemático norueguês Abel, (1802-1829), publicou um trabalho com uma revelação surpreendente. Comprovou que a resolução por meio de radicais não podia ser aplicada a equações de grau superior ao 4º. E ainda mais. Fez uma estranha declaração: é possível resolver equações do 5º e de grau superior, se deixarmos de considerar os radicais como números, mas apenas como simples letras. Finalmente tudo ficou esclarecido com a teoria dos grupos do matemático francês Évariste Galois, (1811-1832). O que ele disse foi que não devíamos procurar resolver as séries geométricas de uma única variável, de grau”n”, através de números representando quantidades, mas que  devíamos considerá-las como grupos de entidades representadas por letras. Quer dizer, grupos formados por subconjuntos de elementos definidos por propriedades comuns. Os subconjuntos, cujos campos de aplicação onde se definem as suas propriedades são chamados domínios, relacionam-se entre si em correspondências um-a-um, criando novas realidades virtuais. As letras são portanto subconjuntos, que se agrupam formando conjuntos, cada vez mais amplos até atingir o grau “n”. Por exemplo, as estatísticas baseiam-se na análise fatorial, ou seja, no número de combinações possíveis dos elementos da sua lei de formação. Para “n” elementos, o fatorial é o número natural resultante da multiplicação sucessiva dos números naturais até “n” inclusive, isto é, n!=1x2x3x4x…x(n-1)xn. Outro exemplo. Transcrevo de texto matemático: “Se o conjunto das permutações de elementos de um conjunto C, munido de lei de composição de aplicações, formar um grupo C’, este é chamado grupo simétrico de C. Se C e C’ forem equipotentes, formam grupos simétricos isomorfos”. Estes enunciados abstratos não são de fácil interpretação, mas não cabe agora explicá-los. Para encerrar este trabalho: o teorema fundamental da álgebra diz que toda a função racional completa, pode ser expressa por um produto de tantos fatores do primeiro grau quantos o seu grau indica. Este teorema  também se define da seguinte forma: uma equação algébrica de grau “n” tem exatamente “n” raízes. Deparamo-nos aqui com o mesmo problema dos Pitagóricos e o teorema de Pitágoras. A função racional completa de grau “n” da primeira definição, poderá ser representada por um produto de “n” fatores do primeiro grau, se e somente se, esses fatores se anularem sucessivamente com os valores das incógnitas. Quer dizer, o teorema só se verifica, quando lidamos com as equações algébricas e obtemos as suas raízes. Somente quando a função se anula é que o teorema se aplica. Sendo assim voltamos ao conceito de radicais e a aplicar o que eles representam.

Fico por aqui. Voltarei a este assunto oportunamente. Até à próxima.