Fundamentos By Henrique Cruz / Share 0 Tweet É sempre bom ter uma nova explicação de uma matéria já conhecida. Uma diferente forma de expor, uma palavra a mais, é às vezes suficiente para desfazer alguma incompreensão da primeira leitura. Comecemos por algo primordial, a teoria dos conjuntos. Conjunto é uma coleção de coisas que são afins, equivalentes. Podem ser de coisas materiais como um conjunto de moedas ou de coisas abstratas como um conjunto de números. Trataremos somente deste último caso. Os componentes de um conjunto abstrato são chamados de elementos do conjunto. Os números 1, 2, 3, … n, … formam um conjunto infinito, o conjunto dos números naturais. Classificar números como naturais quer dizer que vieram do nada, de geração espontânea. Stephen Hawking, famoso professor de Física da Universidade de Cambridge, na Inglaterra, publicou uma coletânea das obras de grandes matemáticos do passado intitulada “God Created the Integers”, (“Deus Criou os Números Inteiros”), Ed. Running Press, Philadelphia, London, 2005. No entanto recentemente o mesmo Professor publicou o livro “The Grand Design”, (“O Grandioso Design”), onde afirma que tendo a Física explicado a origem do Universo, Deus não seria mais necessário. Afirmações contraditórias. Mas deixemo-nos de divagações e vamos ao que interessa. Números inteiros são os números …-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, … que formam um conjunto de elementos indivisíveis. Quer dizer, é um conjunto não munido da operação aritmética da divisão. Observem que o conjunto dos números inteiros contém um subconjunto, que é justamente o conjunto dos números naturais. Ou seja, o conjunto dos números inteiros resulta da expansão do conjunto dos números naturais. Mas o conjunto dos números inteiros apresenta um símbolo novo, o zero, que não é um número natural. Os números naturais são assim designados porque servem para contar quantidades, a primeira atividade intelectual da humanidade, a mais primitiva de todas, o primeiro passo no longo caminho da matemática. Os romanos não conheciam o zero, que veio do oriente trazido pelos árabes. Mas sendo assim, os números naturais não formam um conjunto infinito, porquanto a seqüência 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 … devia encerrar-se no 9 visto que o 10 utiliza o zero que não é um número natural. Errado. Para contar os elementos de um conjunto, qualquer que seja, temos que montar uma seqüência de símbolos não repetitivos que são as unidades iniciais. Os babilônios utilizavam 60 símbolos iniciais, mas não devia ser nada prático. Nós temos o sistema decimal que é muito melhor. São nove símbolos iniciais, as unidades, que depois se repetem indefinidamente de acordo com as posições no número final quantitativo. Para formar esses grupos utilizamos o zero por ser diferente de todos os outros e conforme a sua posição temos as dezenas, centenas, milhares, dezenas de milhar, etc., etc.. O papel do zero nos números inteiros é necessário para criar os números negativos. Nos números naturais ele é necessário para criar os números de um algarismo, dois algarismos, três algarismos e assim por diante indefinidamente. Podíamos inventar um outro símbolo mas o zero serve perfeitamente. Voltemos à teoria dos conjuntos e aos seus conceitos básicos. Se dois conjuntos apresentarem uma correspondência um-a-um entre seus elementos, isto significa que eles têm as mesmas propriedades. Neste caso, o conjunto de partida pode ser trocado pelo conjunto de chegada, que nada se altera. Os dois conjuntos são equivalentes e a troca total de um pelo outro é uma permuta. Se essa correspondência se realiza num só sentido diz-se que ela é unívoca. Se se pode realizar nos dois sentidos, a permuta é chamada de biunívoca (com o prefixo bi, duas vezes unívoca). Vejamos um exemplo muito simples, aliás já apresentado em trabalho anterior. Consideremos o conjunto dos números naturais mais o zero, e dele formamos dois conjuntos, um munido só da operação aritmética de adição e outro munido só da operação aritmética da multiplicação. Os dois conjuntos têm a mesma origem que é o conjunto dos números naturais mais o zero. Quer dizer são ambos conjuntos fechados pois os resultados das somas ou das multiplicações dos seus elementos dão outros elementos sempre dentro do mesmo conjunto de origem. Não há como sair dele, condição indispensável para se realizar a permuta. Além disso, os dois conjuntos são ambos ordenados, quer dizer apresentam uma ordem na seqüência dos seus números, o que também é uma condição indispensável para se estabelecer a correspondência um-a-um entre os elementos dos dois conjuntos. Também apresentam as mesmas leis: comutativa, associativa e monótica. Enfim os dois conjuntos são equivalentes, exceto quanto à lei distributiva da multiplicação, que não existe na adição. Mas podemos admitir que o conjunto munido só da operação de multiplicação dispensa a lei distributiva, retirando o número da sua posição de evidência e eliminando os parenteses curvos. Isto é, resolvendo a operação a(b+c)=ab+ac Vejamos então a permuta dos dois conjuntos. Seja por exemplo 2×3=6. Este resultado pode ser obtido tanto pela adição 2+2+2=6 ou 3+3=6, como pela multiplicação 2×3=6 ou 3×2=6, a ordem dos fatores é arbitrária. Outro exemplo. 5×7=35. Temos 5+5+5+5+5+5+5=35 ou 7+7+7+7+7=35 na adição e 5×7=35 ou 7×5=35 na multiplicação. É claro que a multiplicação é uma operação mais rápida mas a permuta é sempre possível. Tudo isto é muito simples mas não deixa de ser uma aplicação da teoria dos conjuntos. Para finalizar vou dar um exemplo de correspondências unívoca e biunívoca. Não é um exemplo da matemática mas, como disse, a teoria dos conjuntos também se aplica a coleções concretas. Na nossa sociedade as pessoas, as mulheres por exemplo, são solteiras, casadas, viúvas ou divorciadas. Se forem casadas, a uma mulher casada corresponde obrigatoriamente um homem casado e vice-versa, ao homem casado corresponde sempre uma mulher casada, É uma correspondência biunívoca portanto. Mas existem sociedades onde a uma mulher casada corresponde um homem casado, mas ao homem casado pode corresponder, não uma, mas várias mulheres casadas com ele. A correspondência é só unívoca portanto. Fico por aqui. Até à proxima.
