Derivadas

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A geometria analítica estuda as expressões matemáticas interpretando conjuntamente as expressões algébricas e as figuras geométricas. Esse duplo enfoque possibilitou um intercâmbio de propriedades e relações, criando novas alternativas de expressão no campo das aplicações. Vejamos como as leis de formação dessas alternativas foram estabelecidas e como evoluíram até as derivadas. Comecemos pelo círculo, ou seja, pelo lugar geométrico de todos os pontos do plano eqüidistantes de um ponto fixo chamado centro. Se situarmos o círculo no plano cartesiano, a sua definição é ampliada. O círculo passa a ser o lugar geométrico do conjunto dos pontos (x,y) do plano, que estão a uma certa distância, denominada raio, de um ponto fixo denominado centro. No primeiro caso, o círculo definia-se em si mesmo, ao passo que no segundo, é definido em relação aos eixos de coordenadas cartesianas. No primeiro é uma figura geométrica simples, nada mais, enquanto que no segundo, incorporou os valores algébricos. Vejamos o que isso significa. Suponhamos um círculo situado no 1° quadrante do plano de coordenadas cartesiano, como o que se apresenta na figura:

O círculo escolhido tem a localização definida pelas coordenadas do centro, ou seja, pelos seus valores numéricos, (a,b), constantes para todo o círculo. Agora, os pontos do círculo são dados pelas suas coordenadas, ou seja, pelas variáveis (x,y), que são as incógnitas da equação geral que representa o círculo. Para obtermos essa equação algébrica, temos que relacionar as coordenadas variáveis dos pontos às coordenadas fixas do centro. O centro localiza o círculo como um todo e, por sua vez, os pontos do círculo são localizados em relação ao centro. Reparem a figura geométrica da figura, do ponto em relação ao centro, ela é dada por um triângulo retângulo. Portanto, pelo teorema de Pitágoras, temos que o quadrado da hipotenusa, isto é, r², é igual à soma dos quadrados dos catetos. Ou seja, o teorema transforma-se na expressão (x–a)²+(y–b)²=r², que é a equação geral do círculo. Observem o quanto foi introduzido resultante da configuração do círculo no plano cartesiano. Todos os pontos do círculo tiveram as suas localizações definidas, ponto por ponto; a relação entre as coordenadas dos pontos representa uma função, y=f(x), onde “x” e “y” são as incógnitas da equação algébrica e os seus valores numéricos que a satisfazem são raízes da equação. Vejamos um exemplo. Suponhamos que as coordenadas do centro, em números inteiros, são (15,8) e que o raio do círculo é r=5. Suponhamos que x=18 e y=12. Para x=18 temos 18–15=3 e para y=12 temos 12–8=4. Substituindo na equação, os quadrados desses valores dão 9+16=25 que é uma identidade. Logo x=18 e y=12 são raízes da equação do círculo dado. Esta relação repete-se para os círculos concêntricos por serem figuras semelhantes. Quer dizer, têm a mesma forma mas não o mesmo tamanho. Exemplo, as coordenadas do centro continuam as mesmas (15;8), mas o raio passa a ser o dobro, isto é, 10. Suponhamos que x=21 e y=16. Para x=21 temos 21–15=6 que é o dobro de 3 do exemplo anterior. Igualmente para y=16 temos 16–8=8, o dobro de 4. Substituindo na equação, os quadrados desses valores dão 36+64=100 que é 10 ao quadrado. Logo (21,16) são raízes da equação do círculo concêntrico.

Consideremos agora uma outra questão. O centro em relação a um ponto representa a  curvatura do círculo nesse ponto, sempre a mesma qualquer que seja o ponto. Podíamos dizer, que o círculo é o lugar geométrico do conjunto dos pontos do plano que têm uma curvatura constante, a mesma para todos eles. O conceito de curvatura está vinculado à figura geométrica da linha reta tangente ao círculo no ponto considerado, linha reta que, por sua vez, é perpendicular ao raio nesse ponto. Se admitirmos que o ponto percorre todo o círculo numa rotação completa, a linha reta considerada desloca-se conjuntamente com o raio, “fechando” o círculo com o conjunto das suas posições. Reparem que por imposição geométrica, a linha reta tangente é sempre externa ao círculo, sempre do lado convexo da curva circular. Pois bem, se em vez de uma curva fechada, sempre igual, tivéssemos uma linha aberta, de curvatura variável, e se essa linha for contínua, podemos admitir que cada ponto tem a sua curvatura específica, ou seja, tem o correspondente centro de curvatura. Sendo assim, se associarmos ao ponto que se desloca, uma linha reta tangente, verificamos que ela gira, num sentido e no outro, de acordo com a variação da curvatura da linha. Mas sempre do lado convexo da curva. Se na curva existir um ponto de inflexão, a linha reta tangente passa, nesse ponto, de um lado para o outro da curva, de forma a se manter sempre do lado convexo. Exatamente no ponto de inflexão, a linha reta tangente tem um raio de curvatura infinito, ou seja, zero de curvatura. Vejamos uma aplicação interessante do que foi dito. Atualmente as linhas férreas de passageiros operam com alta tecnologia, atingindo velocidades iguais ou superiores a 200km/h. Por exemplo, os TGV’s, Trens de Alta Velocidade da França. Pois bem, se um trem em alta velocidade, passar de um trecho em linha reta, diretamente, para um trecho em curva circular, mesmo de grande raio, recebe um forte solavanco, correndo o risco de descarrilar. Para evitar isso, é preciso intercalar um trecho em espiral, conhecida como a espiral de Cornu. Assim o trem passa por uma evolução contínua da curvatura, do zero até a curvatura da curva circular, sem qualquer risco, nem sequer balanço, por não existir nenhum “salto” na curvatura da linha.

Nesse exemplo, a derivada da equação de segundo grau do círculo é a equação de primeiro da reta tangente.

Para entender o que seja derivada, o que interessa fundamentalmente, é ter noção do que seja a função derivada primeira de uma função f(x). Se for uma função constante, x=a, a sua derivada será uma função nula, zero portanto. Se a função dada for ax+b, a sua derivada será uma função constante x=a. Se for ax2+bx+c, a derivada será 2ax+b e assim por diante. Vejam que a função x=a representa uma linha reta paralela ao eixo dos y’s e a função y=b um linha reta paralela ao eixo dos x’s. São funções constantes pois representam igualdades. O único ponto de cruzamento tem as coordenadas (a,b), raiz das duas funções. As funções constantes têm derivadas nulas. O ponto de cruzamento tem derivadas constantes.

Fico por aqui. Até à próxima.