Crônicas Matemáticas By Antonio Madrid / Share 0 Tweet Conjunções, disjunções, condicionais, bi condicionais e negação. Assim como na matemática, na lógica nada é acidental. Tudo esta devidamente relacionado (linkado) através de símbolos chamados elementos de ligação.E quando usamos estes símbolos na lógica, estamos assegurando a conexão sintática entre os enunciados. E para entendermos como eles funcionam temos que “dar nomes aos bois”. E é exatamente isso que veremos hoje. Apenas com a introdução, dá para ter uma idéia de que na lógica, como em qualquer outro assunto relacionado à matemática, são criadas denominações para serem usadas quando nos referimos as proposições mais comuns. Sendo estas utilizadas no decorrer do presente texto. Vejamos o seguinte argumento: (P1) Hoje está ventando e hoje não está frio. (P2) Hoje está frio ou hoje está ventando. (P3) Se hoje está ventando então os galhos das árvores se mexerão. (P4) Os galhos das árvores se mexerão se e somente se existe uma força resultante diferente de zero atuando nos galhos. (C) Portanto existe uma força resultante diferente de zero atuando nos galhos. Os enunciados compostos ligados por “e” são denominados conjunções e as sentenças que os constituem são conhecidas como conjuntos. No argumento acima temos um exemplo de conjunção que é a premissa (P1). Como podemos perceber, esse tipo de enunciado é composto por duas sentenças uma que precede e outra que sucede o operador lógico em questão, por isso, dizemos que “e” é um operador binário. Os enunciados compostos ligados por “ou” são denominados disjunções e as sentenças que os constituem são conhecidas como disjuntos. No argumento acima temos um exemplo de disjunção que é a premissa (P2). Como podemos perceber, esse tipo de enunciado é composto por duas sentenças, uma que precede, e outra que sucede o operador lógico em questão. Dizemos que “ou” é um operador binário. Os enunciados compostos ligados por “se… então…” são denominados condicionais, onde a sentença que sucede o “se” é denominada antecedente, e a que sucede o “então” é conhecida como conseqüente. No argumento acima temos um exemplo de condicional que é a premissa (P3). Como podemos perceber, esse tipo de enunciado é composto por duas sentenças, dizemos que “se… então” é um operador binário. Os enunciados ligados por “se, e somente se” são denominados bicondicionais, e seus componentes não têm denominações específicas. No argumento acima temos um exemplo de bicondicional que é a premissa (P4). Quando há a ocorrência de um bicondicional podemos considerar a presença de dois condicionais ao mesmo tempo. Vejamos o seguinte exemplo para aclarar nosso entendimento. (P4) Os galhos das árvores se mexem se, e somente se, existe uma força resultante diferente de zero atuando nos galhos. A sentença escrita acima (P4) pode ser escrita como: “Os galhos das árvores se mexem, se existe uma força resultante diferente de zero atuando nos galhos”. isto é, “se existe uma força resultante diferente de zero atuando nos galhos, então os galhos das árvores se mexerão”. Mas também de (P4) podemos retirar as seguintes sentenças. “Os galhos das árvores se mexem somente se existe uma força resultante diferente de zero atuando nos galhos”, onde o operador “somente se” corresponde a “se… então…”, mas com um detalhe, na expressão “somente se”, o enunciado que sucede essa expressão é o conseqüente e o enunciado que o precede é o antecessor. Portanto, “Os galhos das árvores se mexem somente se existe uma força resultante diferente de zero atuando nos galhos”, é equivalente a “se galhos das árvores se mexerem então existe uma força resultante diferente de zero atuando nos galhos”. Assim verificamos o que foi dito antes, que um bicondicional corresponde a dois condicionais. O operador “não é o caso que” representado simbolicamente por, “ ~ ”, refere-se a negação da sentença (proposição) e prefixa apenas esta. Portanto, é um operador unário. Por exemplo, se for para escrever que “não é o caso que hoje está ventando”, poderíamos fazê-lo apenas por: “hoje não está ventando”, ou simbolicamente colocando o símbolo “~” na frente, ou seja, apenas sobre aquela proposição. As letras sentenciais e os operadores lógicos facilitam a identificação dos tipos de argumentos. Um exemplo é a seguinte representação: P V Q. ~ Q. Portanto P. Independentes do significado que as letras sentencias apresentem, qualquer argumento que possa ser formalizado na forma escrita acima (silogismo disjuntivo), poderá ser expresso também na forma horizontal, com as premissas separadas por vírgula, ou seja: P V Q, ~ Q ├ P onde “├” significa “Portanto” e é denominado traço de asserção. Ele se apresenta como um indicativo de conclusão, ou seja, aquilo que sucede o traço de asserção é a conclusão, e as premissas são expostas antecedendo o símbolo “├”. O silogismo disjuntivo é um tipo de argumento válido, ou seja, se garantida a veracidade das premissas teremos uma conclusão também verdadeira, mas se a conclusão for falsa temos certeza que existe ao menos uma premissa falsa. Observe o exemplo: O Brasil foi uma colônia de exploração ou de povoamento. O Brasil não foi uma colônia de exploração. Logo, o Brasil foi uma colônia de povoamento. Nesse argumento a conclusão é falsa, mas isso ocorre pelo fato da segunda premissa ser falsa. Mesmo assim o argumento é válido, pois se as premissas fossem verdadeiras a conclusão também seria. Agora, analisemos a seguinte forma de argumento, conhecido como afirmando o conseqüente: Se você está gripado então você contraiu um vírus. Você contraiu um vírus. Portanto, você esta gripado. Tomemos as seguintes letras sentenciais: “G” = Você está gripado e “C” = Você contraiu um vírus. Logo, o argumento formalizado será: G -> C, C ├ G. Esse tipo de argumento é inválido, pois é possível que um indivíduo tenha contraído um vírus (por exemplo, HIV), e assim, a segunda premissa é verdadeira. E mesmo tomando a primeira premissa como verdadeira, poderíamos ter uma conclusão falsa, já que nem todo o aidético está gripado. Portanto, existe um instanciamento desta forma que é inválido. Existem outros argumentos que podem ser representados por essa forma que apresentam conclusão verdadeira em decorrência de premissas verdadeiras, um exemplo é o seguinte: Se a terra é menor que o sol então o sol é maior que a terra. A terra é menor que o sol e o sol é maior que a terra. Portanto, a terra é menor que o sol. Nesse argumento, a segunda premissa e a primeira premissa são verdadeiras, e aqui temos uma conclusão também verdadeira. Isso acontece pelo fato de a segunda premissa fornecer todo o embasamento para a conclusão proferida, já que podemos observar que a primeira premissa não trás nenhum dado novo que ajude a conclusão. A esta linguagem estruturada, nesta notação simbólica, juntamente com as regras (como esta do silogismo) e os operadores chama-se cálculo proposicional, calculo de enunciados ou cálculo sentencial. No próximo artigo veremos a formalização destas sentenças. Até breve.
