Derivadas – adendo

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Devo aos leitores algumas explicações complementares sobre o meu trabalho anterior, as derivadas. Vamos então ao que interessa. Primeira questão: quando mostrei que o teorema de Pitágoras podia ser transformado na equação geral do círculo, fiz um exercício numérico de comprovação. Claro que não resolvi a equação do 2° grau para obter as suas raízes. O que fiz foi muito simples. Sabia e já tinha dito isso a vocês, que para um círculo, de raio r=5, considerado como a hipotenusa do triângulo retângulo, e com os valores 3 e 4 para os seus catetos, obtemos a identidade desse triângulo, ou seja, 3²+4²=5². Fiz então um simples exercício de diante para trás, isto é, admiti valores, em números inteiros, tais que descontados os valores de “a” e “b” davam os 3 e 4 necessários. Assim, sendo (15,8) as coordenadas do centro, admiti os valores (18,12), que dão 18–15=3 e 12–8=4. É óbvio que 18 e 12, valores escolhidos sem explicação, são raízes da equação, pois satisfazem o teorema de Pitágoras e portanto a equação geral do círculo que é a sua transformada.

Passemos à segunda explicação, as regras da derivação. Disse que se a função dada fosse x=a, uma constante, a derivada seria a função zero. Se a função fosse ax a função derivada seria x=a uma constante. Se a função fosse x² a função derivada seria 2x. Se fosse x³ seria 3x² e assim por diante. Vejamos um exemplo de aplicação. Um indivíduo viaja de carro numa estrada a uma velocidade uniforme de 80km/h, isto é, a uma velocidade constante. Como a velocidade não varia, a sua derivada é zero. Quer dizer, à função distância percorrida em uma hora, corresponde a função zero da sua variação. Agora o viajante percorre a estrada a uma velocidade uniformemente acelerada, ou seja, a aceleração do carro cresce de uma maneira uniforme. Assim, à função distância percorrida em uma hora, corresponde a função constante da sua variação que é a sua derivada. Por sua vez, à função constante da aceleração, corresponde a função derivada zero, ou seja a velocidade instantânea do carro. Observem como evoluem as derivadas, da primeira para a segunda e da segunda para a terceira. Uma curva contínua é uma seqüência ininterrupta de pontos, cuja configuração geométrica no plano cartesiano, pode mostrar correlações com as outras figuras geométricas de suas derivadas. Por exemplo, f(x)=x³ representa uma curva que passa pelo ponto (0,0) e tem a figura de um “s”, convexo no 1° quadrante e côncavo no 3° quadrante. A primeira derivada é f’(x)=3x² que representa a figura de uma parábola passando pelo ponto (0,0) e situada no 1° e 2° quadrantes, simétrica em relação ao eixo dos y’s. A segunda derivada é f’’(x)=6x que representa uma linha reta passando pelo ponto (0,0) do 1° para o 3° quadrante Finalmente a terceira derivada é f’’’(x)=6 é uma linha reta paralela ao eixo dos x’s, pasando pelo ponto (0,6). Claro que nem todas as curvas apresentam correlações não tendo portanto derivadas. Acrescento mais um esclarecimento sobre as figuras geométricas do exemplo. Não vou apresentar nenhuma aplicação da física para as curvas citadas, mas apenas justificar as suas configurações geométricas. Comecemos pela função f(x)=x³. Trata-se de uma potência de expoente ímpar, o que quer dizer que se “x” for um número par o resultado é positivo, mas se “x” for um número ímpar o resultado será negativo e isso por força da regra dos sinais. Multiplicar três vezes o sinal positivo dá positivo, mas multiplicar três vezes o sinal negativo dá negativo. São portanto duas curvas, a primeira no 1° e a segunda no 3° quadrantes, inversas uma da outra. Passemos para a primeira derivada. É a nossa conhecida parábola. O expoente é um número par, logo as duas curvas são ambas positivas. Situam-se no 1° e 2° quadrantes. A segunda derivada é uma função do 1° grau, logo uma linha reta. Sendo f(y)=6x, a linha reta passa pelo ponto (0,0) do 1° para o 3° quadrantes. Por último a terceira derivada dá x=6, uma linha reta passando pelo ponto (0,6) paralela ao eixo dos x’s e situada no 1° e 2° quadrantes.

Fico por aqui. Espero ter esclarecido as dúvidas que porventura tenham ocorrido. Evidentemente o assunto é complexo e o que apresento é apenas uma abordagem elementar.