Igualdades

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Igualdade é uma relação de equivalência entre grandezas quantitativas. A sua denotação, o seu símbolo, são dois pequenos traços horizontais sobrepostos. O sinal de igual significa que as grandezas de um lado do símbolo são iguais, em valor quantitativo, às grandezas do outro lado do símbolo. Este conceito é verdadeiro para toda e qualquer categoria de grandezas. Consideremos o caso mais simples, o conjunto de números naturais. Suponhamos que eles são denotados pelas primeiras letras minúsculas do nosso alfabeto a, b, c, d, etc. O caso mais simples é a=a. Mas sendo o conjunto de números naturais um conjunto ordenado, constituido por uma sequência de números não repetitivos, a=a é mais do que uma igualdade. É uma identidade, visto que representa uma grandeza igual a si mesma. O sinal igual é também utilizado para apresentar o resultado das operações aritméticas, ou seja, da soma, subtração, multiplicação e divisão. Por exemplo: a+b=c. Convencionalmente a leitura faz-se sempre da esquerda para a direita do sinal igual, isto é,  a mais b é igual a c. Ou então no sentido oposto, c é a soma de a mais b. Numa igualdade é sempre possível transferir uma grandeza de um para o outro lado do sinal igual. Só que para  a igualdade se manter, a grandeza que muda de lado deve inverter o seu sinal. Se a grandeza for positiva passa a negativa, se estiver multiplicando passa a dividir e vice-versa. Mas cuidado com a associação das operações aritméticas! Por exemplo a.b=c, portanto a=c/b. Correto. Agora suponhamos a+b.c=d, ou seja a mais b vezes c é igual a d. Se fizer a=b/c+d, estou cometendo um êrro. De fato, b.c representa uma nova grandeza, portanto a soma prevalece sobre a multiplicação. Estaria certo se fosse um fator comum como por exemplo (a+b).c=d. É como no primeiro exemplo (a+b)=d/c. Mas no caso apresentado não é assim, a soma é que tem a primazia. Portanto o correto é a=d–b.c. Vejamos outros casos interessantes. Comecemos com a+b=c. Podemos fazer o lado direito igual a zero, a+b–c=0. Ou então a–c=–b. Ambos estão corretos, mas no segundo caso surge um número negativo, que é o menos b. Quer dizer, não estamos mais lidando com os números naturais visto que estes formam um conjunto que não inclui os números negativos. Se fosse a–c=b tudo bem, o diminuidor é menor que o diminuendo, estamos nos números naturais. Mas a subtração dá um número negativo, ou seja, estamos lidando com os números inteiros e não com os números naturais. Mas com os números inteiros temos o zero que tem uma propriedade importante. Somando o zero a qualquer número, o resultado da soma repete o número dado qualquer que ele seja. Diz-se portanto que o zero é o princípio de identidade da soma. Princípio é uma verdade válida para toda a extensão do conceito onde se aplica. Neste caso o número tanto pode ser natural, como racional, irracional, transcendente, real, complexo, fracionário, etc., qualquer que ele seja,, o resultado é sempre o mesmo, a repetição do número dado. Então a+0=a. Sendo assim teremos a–a=–0. Errado. Não existe o zero com sinal negativo, esta expressão não tem qualquer significado. A mesma propriedade tem o número 1 na multiplicação com qualquer número. O número um é o princípio de identidade da multiplicação, qualquer número multiplicado por um repete sempre o número dado qualquer que  ele seja. Da mesma forma se a.1=a, então a=a/1. Esta expressão também não tem significado, não devendo ser aplicada. Comclusão, a soma e a multiplicação são operações aritméticas cujas identidades são representadas respectivamente pelos números zero e um. Vejamos uma outra aplicação dos princípios de identidade da soma e da multiplicação. A generalização da aritmética dá origem à álgebra e aos números algébricos. Os números algébricos são denotados, por exemplo, pela expressão ax²+bx+c=0 neste caso uma equação do segundo grau. A equação algébrica também tem o sinal igual mas ela só se transforma numa igualdade, quando as suas incógnitas, as variáveis x e y, recebem valores que satisfazem a equação. Satisfazer ou resolver a equação é portanto transformá-la numa igualdade. Esses valores são as raízes da função representada pela equação algébrica. Como temos y=ax²+bx+c para x=0 resulta y=c. Aqui também se aplicam os princípios de identidade da soma e da multiplicação abrindo caminho para a resolução das equações algébricas por meio de radicais. Explico. As equações algébricas são equações de potências de x, ou seja, x ao quadrado, ao cubo, à quarta potência etc. Isto é, x multiplicado por si mesmo duas vezes, três vezes, quatro vezes, etc. Para se obter os valores de x que resolvem as equações temos que realizar as operações inversas que são os radicais. Aplicando os radicais obtemos para todos os casos x.1 ou seja obtemos o princípio universal da identidade da multiplicação x vezes 1. Como temos que somar as parcelas da equação algébrica para torná-las igual a zero, também utilizamos o princípio universal da identidade da soma a+0. São esses dois princípios de identidade que fundamentam a teoria das funções algébricas.  

Fico por aqui. Até à próxima.