Fundamentos By Henrique Cruz / Share 0 Tweet Chamada inicialmente de “analysis situs” a topologia geral é uma teoria matemática ao mesmo tempo simples e complexa. Simples porque se baseia em conceitos elementares básicos próprios da geometria euclidiana e complexa porque os utiliza de forma completamente diferente. Suponhamos, por exemplo, três tipos de figuras geométricas: um círculo, um triângulo e uma elípse. O que podem ter de comum essas três figuras? O que é possível dizer é que são figuras “fechadas”, isto é, constituidas por linhas contínuas de pontos ininterruptos. Definidas desta forma as três figuras não se distinguem entre si. Topologicamente não há como distinguir entre elas em suas formas e tamanhos, visto que existe um princípio geométrico que as torna todas iguais. Observem que o que estamos propondo é exatamente o método da geometria euclidiana, ou seja, uma teoria baseada nas suas “verdades”, isto é, nos seus axiomas. Sendo assim podemos transformá-las, deformando-as de maneira a se obter a mesma forma e tamanho para todas elas. As transformações são válidas porque obedecem à “verdade” da teoria, ao seu axioma. O que interessa então, segundo Riemann, é estudar as propriedades invariantes sob o efeito de transformações biunívocas contínuas. Georg Fiedrich Bernhard Riemann, (1826-1866), matemático alemão, é considerado o criador da topologia geral, apesar de Georg Cantor e Poincaré terem mencionado a possibilidade da sua existência. Basicamente a topologia geral diz-nos que o espaço topologico pode sofrer deformações, desde que essas deformações não destruam as correlações entre as figuras.topológicas. De novo estamos procedendo exatamente como na geometria euclidiana. O plano cartesiano pode ter duas ou três dimensões desde que no espaço tridimensional se mantenham as propriedades do espaço bidimensional. O mesmo critério é aplicado ao espaço topológico. Por exemplo, o plano cartesiano pode ondular, desde que os pontos do espaço ondulado tenham uma correspondência um-a-um com os pontos do espaço cartesiano. Quer dizer desde que se possa aplicar a teoria dos conjuntos. Com a definição do espaço topológico, os matemáticos procuraram ampliar as noções fundamentais de aberto, fechado, compacto, etc..Além disso como todas as figuras podem ser reduzidas a uma só, a linha reta passou a ser um caso particular da linha curva. Todas as figuras topológicas passaram a ser designadas como “simples linhas curvas”. As principais aplicações específicas da topologia geral dizem respeito à topologia algébrica ou combinatória e à topologia diferencial. Vejamos a topologia algébrica ou combinatória. Consideremos no espaço topológico, uma esfera e um cubo interno, sendo que os oito vértices do cubo são pontos da superfície esférica. Qualquer que seja o raio da esfera escolhido ele cruza a superfície do cubo num único ponto. Existe portanto entre os pontos das duas figuras geométricas, da esfera e do cubo, uma correspodência um-a-um biunívoca. Essa correspondência é idêntica à que ocorre quando se considera, no plano euclidiano, a figura geométrica de um triângulo. Se de um dos vértices traçarmos um segmento de reta ligando-o a qualquer ponto do lado oposto, ele cruzará, em um único ponto, qualquer segmento de reta interno ao triângulo que seja paralelo ao lado oposto. A correspondência entre os pontos dos dois segmentos de reta paralelos é uma correspndência um-a-um biunívoca, tal como a do exemplo no espaço topológico. Como os dois segmentos de reta paralelos têm comprimentos diferentes, fica patente que a correspondência um-a-um só pode existir se admitirmos que os pontos geométricos são adimensionais, isto é, não têm dimensões. Pode-se dizer que são pontos “virtuais”. Convém esclarecer que o conceito de espaço não existe na geometria euclidiana, que admitia tão somente o plano euclidiano. O espaço cartesiano surgiu com Descartes, de dois eixos ortogonais, definindo a partir do ponto zero do seu cruazamento o espaço bidimensioanl. Voltemos ao espaço topológico e às duas figuras da esfera e do cubo. Nesse espaço não interessa as dimensões das figuras, mas apenas a correspondência um-a-um entre os elementos dos dois conjuntos de pontos. Vejamos uma analogia combinatória entre duas figuras geométricas da geometria euclidiana, aplicável às figuras topológicas da esfera e do cubo. Consideremos um círculo e um quadrado nele inscrito. Já vimos que é possível subdividir sucessivamente os lados do quadrado formando polígonos, sempre inscritos no círculo, com cada vez maior número de lados. O perimetro dos polígonos só atinge a circunferência do círculo quando o polígono desaparecer, isto é, após um número infinito de subdivisões. Com a esfera e o cubo ocorre o mesmo. É possível subdividir o cubo criando poliédros com cada vez mais faces sempre inscritos na esfera. Após um número infinito de subdivisões o poliedro desaparece na superfície esférica. É claro que o plano euclidiano nada tem a vêr com o espaço topológico, mas também o espaço cartesiano não é um espaço topológico. Por isso a topologia geral é uma teoria matemática específica que se diferencia das demais. Apesar disso está baseada em conceitos que podem ser extrapolados das geometrias euclidiana e cartesiana, permitindo descobrir novos significados de aplicações mais amplas. Fico por aqui. Até à próxima.
