Trigonometria

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A trigonometria é uma das mais belas teorias da Matemática e a sua aplicação na Mecânica das Vibrações torna ainda mais importante o seu conhecimento. A abordagem é elementar mas suficiente para que esses aspectos fiquem evidentes. Os parâmetros dos movimentos vibratórios, amplitude e frequência, são especificados nos seus significados físicos. As representações geométricas das funções trigonométricas são apresentadas em desenho, no plano euclidiano cartesiano. No final, a curva da função seno é desenhada conforme desenvolvida no seu periodo inicial.

A trigonometria é um ramo da matemática de larga aplicação na física. Trata das funções, no plano euclidiano cartesiano, referentes a um círculo de centro na origem das coordenadas. A trigonometria lida com os ângulos ao centro, cujos valores são medidos a partir de um lado fixo, o eixo horizontal dos x’s, até à semi-reta correspondente a um ponto que se desloca, no sentido anti–horário, na circunferência do círculo, alcançando uma rotação completa. As funções trigonométricas são de natureza singular, não obedecendo ao padrão de notação y=f(x). Em vez da notação genérica do símbolo f, cada função trigonométrica é denotada pelo seu símbolo específico, senx, cosx, tgx, etc.. A unidade de medida de ângulo é o radiano ou o grau (subdividido em minutos e segundos). Radiano é o ângulo ao centro cujo lado móvel intercepta a circunferência do círculo, definindo um arco igual, em comprimento, ao raio do círculo. Grau é o ângulo ao centro definido pelo arco de circunferência, que resulta da divisão de uma rotação completa em 360 partes iguais. Considerando os quadrantes do plano ortogonal cartesiano, o grau é portanto o ângulo ao centro resultante da divisão do ângulo reto em 90 partes iguais, prefazendo 4×90=360 graus da rotação completa. O grau tem 60 minutos e o minuto 60 segundos. A figura a seguir apresenta as interpretações geométricas das funções trigonométricas referentes a um determinado ângulo ao centro.

As funções são definidas pelo comprimento dos segmentos de reta específicos: seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante. A figura apresenta quais ângulos são iguais, de acordo com a marcação indicada. Vocês devem lembrar, na geometria elementar, dos casos em que se pode afirmar que os ângulos são iguais. Por exemplo, se dois ângulos têm lados perpendiculares, por definição, então eles são iguais. Se duas retas paralelas, por definição, forem interceptadas por uma outra reta, então os ângulos correspondentes nos cruzamentos são iguais. E por aí vai. A existência desses ângulos iguais faz com que os triângulos OCP, OAE e OBF da figura sejam semelhantes. Quer dizer, os triângulos têm a mesma forma mas não o mesmo tamanho. Mas não é só isso. Existe em todos eles, uma relação de dimensões que é constante para qualquer círculo concêntrico. Assim, o seno é igual a PC/OP, o coseno a OC/OP, a tangente a AE/OA, a cotangente a BF/OB, a secante a OE/OA e a cosecante a OF/OB. Estas relações são constantes qualquer que seja o raio do círculo concêntrico. Por essa razão pode-se dizer que os círculos são também, como os triângulos, figuras semelhantes.

As funções trigonométricas são funções periódicas. Quer dizer, se um ponto qualquer da circunferência der uma ou mais rotações completas, o ponto final de cada rotação é sempre equivalente ao ponto inicial. Se T for o período da função trigonométrica, 2T, 3T, 4T, … são também períodos dessa função. Esta “natureza” das funções trigonométricas fica patente se desenharmos a curva dos valores correspondentes aos pontos da circunferência do círculo. Vejamos, por exemplo, a representação no plano cartesiano da função seno, isto é, a curva sinusoidal, a chamada senóide.

Acompanhe pela figura. Considere os eixos ortogonais cartesianos. Marque no eixo horizontal dos x’s, a partir do ponto O do cruzamento dos eixos ortogonais, o comprimento da circunferência de um círculo. Pode ser de qualquer círculo, pois já vimos que são semelhantes desde que concêntricos. Admita que o ponto descreva a circunferência – uma rotação completa – no sentido positivo anti-horário, a partir do eixo dos x’s. O comprimento da circunferência pode ser dividido em quatro partes iguais, correspondendo aos quatro quadrantes. No 1º e 2º quadrantes, os valores do seno são positivos e traçam uma curva ondulatória, uma “onda”, acima do eixo dos x’s. O ponto final corresponde ao ângulo raso de 180º. No 3º e 4º quadrantes, os valores do seno são negativos e a “onda” fica abaixo do eixo dos x’s. O ponto final corresponde a uma rotação completa, isto é, ao ângulo de 360º. A partir deste ponto, a curva recomeça a anterior tal como foi descrita. Quer dizer, a curva descreveu, de 0 até esse ponto, o período T da função seno. Observe que a “crista da onda” tem sempre o mesmo valor r do raio do círculo, tanto positivo quanto negativo, respectivamente a 90º e a 270º. As funções periódicas têm grande importância na mecânica, por representarem movimentos oscilatórios. Na Física, um oscilador é chamado harmônico quando o ponto descreve oscilações senoidais de um lado e de outro de uma posição de equilíbrio. Uma função harmônica tem dois parâmetros, a amplitude, ou seja, a grandeza que a oscilação apresenta no deslocamento vertical, acima ou abaixo do eixo dos x’s, e a freqüência, ou seja, o número de vezes que a oscilação corta o eixo dos x’s dentro do período T. Quer dizer, a amplitude é o máximo desvio do ponto em relação à posição de equilíbrio e a freqüência é o número de oscilações em 360 unidades de tempo. Para considerar a freqüência é preciso levar em conta a fase inicial do movimento oscilatório, para se ter coincidência de períodos. Explico melhor. Eu disse que o círculo podia ser de qualquer tamanho, logo pode haver uma função de periodo T, uma senóide por exemplo, e considerar uma outra função também senóide, mas de periodo nT, sendo n um número inteiro. O extraordinário nos movimentos oscilatórios, é que as duas funções periódicas podem ser somadas, dando como resultado uma outra função periódica. Esta soma de funções periódicas pode ser feita indefinidamente. Um exemplo deste efeito aconteceu com a ponte pênsil de San Francisco (EUA), a Golden Gate. O vão central rompeu sob o efeito de fortes rajadas cíclicas de vento, coincidentes com o periodo de oscilação natural da ponte, provocando oscilações do tabuleiro de amplitude cada vez maior até atingir a ruptura.

Fico por aqui. Até à proxima.